数学的帰納法以外の解き方

漸化式　a[n]=4, a[n+1]=3a[n]^2+4a[n]+3 (n=1,2....)

で定まる整数の数列{a[n]}を考える。このときa[n]-4が７で割り切れる

ことを証明せよ。


という問題なのですが，数学的帰納法以外で解く方法を教えていただけないでしょうか？

お願いします！

No.4 回答者： owata-www 回答日時： 2009/01/11 02:13

a[2]≡4、a[3]≡4 (mod 7)

で、n ≧ 2 なら a[n+2] ≡ a[n] mod 7が成り立つので（＃２さん曰く）

ここから、a[2k+1]とa[2k]に場合分けして、背理法を使っても一応はできます、あんまり意味は感じませんが

No.3 回答者： Tacosan 回答日時： 2009/01/10 18:17

単純に「帰納法」といってもいろいろなストーリーがあるんだけどね....

「逆に考えるというストラテジー」を説明できますか?
そして, そのストラテジーを使わない証明としてどういうものが挙げられますか?

この回答へのお礼

逆に考えるストラテジーとして先生がおっしゃったのが

「エリカさんは何個かあめをもっていました。さっき，あめを３つ食べたので，残りは５個です。エリカさんははじめにあめを何個持っていたでしょう。」

という問題で，問題表現は減法ですが，計算は加法ですよね。
そこで式としては□ー３＝５と考えることができ，□＝５＋３とかんがえればよいっていう感じです。

これが逆に考えるというらしいんですが・・・

わかりますかね？

お礼日時：2009/01/11 02:56

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2009/01/09 18:08

う～ん, 閉じた式で書ければいいんだけど, そうじゃないとどこかで帰納法を使わざるをえないような気がする. とりあえず思いつかない.

ざっと計算すると
n ≧ 2 なら a[n+2] ≡ a[n] mod 7
は言えそうんだけど, これから何かしようにも結局帰納法だし.

この回答へのお礼

ありがとうございます。

下の方のにも書いたのですが，帰納法ぐらいしか逆に考えるっていうのを考えられなくて，この問題を選んだんですが・・・。

お礼日時：2009/01/10 00:48

No.1 回答者： owata-www 回答日時： 2009/01/09 17:02

合同式を使って、

a[n]≡4の時
a[n+1]=3(a[n])^2 +4a[n] +3
≡3*4^2 +4*4 +3
≡67
≡4 (mod 7)

よって、a[1]=4≡4 (mod 7)より、帰納的にa[n]≡4となるので
a[n]-4は７で割り切れる


まあ、これも帰納法使っているけど　（苦笑
また、

この回答へのお礼

やっぱどこかで帰納法使ってしまいますよね・・・。

「逆向きに考えよ」っていう問題解決ストラテジーを使った解き方と，問題解決ストラテジーを使わない解き方で答えを書けって言うレポートを出されてこの問題を選んだんですが，難しいですね。

ありがとうございます！

お礼日時：2009/01/10 00:46