［統計学］カイ2乗分布

カイ2乗分布について多くの入門的教科書では、
> 確率変数 X1, X2 が正規分布 N(0,1) に従うとき、
> Y = X1^2 + X2^2 で与えられる確率変数 Y はカイ2乗分布となり、
> 以下の式で表される：
> （分布関数）
のような説明がなされていると思います。

このとき、X1, X2 が異なる正規分布 N(e1, v1), N(e2, v2) に従う場合には、
そのカイ2乗分布はどのような式で与えられるのでしょうか。
（e = X の平均値， v = X の分散）

おそらく簡単すぎるために、説明が省かれているのだろうと思うのですが、
自分にとっては簡単ではありません。
詳しく載っている書籍・ウェブサイトを挙げるだけでも構いませんので、
御教示お願いいたします。

No.5 回答者： jaspachate 回答日時： 2009/01/17 14:13

x[i] (i=1～n) がそれぞれ　N(μ[i]、σ[i]^2) に従うとすると、(x[i]-μ[i])/σ[i] は それぞれ N(0、1) に従います。

Z = Σ[i=1～n]{ (x[i]-μ[i])/σ[i] }^2
は自由度nのχ^2[n]分布に従います。
これを展開すると、
Z = Σ(x[i]^2/σ[i]^2) -2Σ(μ[i]x[i]/σ[i]^2) + Σ(μ[i]/σ[i])^2
今、
V = Σv[i] = Σ(x[i]^2/σ[i]^2)
Y = Σy[i] = Σ(μ[i]x[i]/σ[i]^2)
λ = Σ(μ[i]/σ[i])^2
とおくと、V は求めたい分布の確率変数で、λ は定数です。

V = Z + 2Y - λ
の確率密度関数は非心χ二乗分布と呼ばれ、
V = Σ[i=1～k]v[i]
とすると、
p(V;k,λ) = (1/2)e^(-(V+λ)/2)(V/λ)^(k/4-1/2) I[k/2-1](√(λV))
I[a](w) = (w/2)^a Σ[j=0～∞] (w^2/4)^j/{j!Γ(a+j+1)}
Γ() はガンマ関数。
参照URL
http://en.wikipedia.org/wiki/Noncentral_chi-squa …

Σ(x[i]^2/σ[i]^2)　ではなく、Σx[i]^2　の分布というのは特にはないようです。これは正規分布の同時確率密度関数を V=Σx[i]^2 の束縛条件のもとで積分を実行するしかないようですね。

この回答へのお礼

Σx[i]^2 の確率密度関数はないのですか。
結構需要がありそうな分布だと思うのですが・・・
簡単な式にはできないということなのでしょうか。

ともかく、詳しいご説明、誠にありがとうございました。

お礼日時：2009/01/19 16:28

No.4 回答者： quaestio 回答日時： 2009/01/17 10:36

非心カイ二乗分布については、検索すればわかるかなと思い多くは書きませんでした。

参考URLの英語版Wikipediaに確率密度関数や積率母関数等が記載されています。
（日本語でよくまとまったサイトが見つかりませんでした）

繰り返しになりますが、N(μi, σi^2)に従う確率変数Xi(i = 1～k)があるとき、
Y = Σ(Xi/σi)^2
は自由度k、非心度λの非心カイ二乗分布に従います。
非心度は
λ = Σ(μi/σi)^2
となります。また、
m = Σ(Xi/σi)/k
とすると、Σ(Xi/σi-m)^2は自由度k-1、非心度Σ(μi/σi-Σ(μi/σi)/k)^2の非心カイ二乗分布に従うことがわかっています。

参考URL：http://en.wikipedia.org/wiki/Noncentral_chi-squa …

この回答へのお礼

英語版はチェックしていませんでした、すみません。
まさかベッセル関数まで出てくるとは思いませんでしたが、
機会を見つけて勉強したいと思います。

ありがとうございました。

お礼日時：2009/01/19 16:38

No.3 回答者： quaestio 回答日時： 2009/01/15 06:46

v1 = v2 = 1ならば、Y = X1^2 + X2^2は非心カイ二乗分布に従います。

v1 = v2 = 1以外は、他の回答者も書かれているように変数変換するだけでしょう。

この回答へのお礼

レスありがとうございます。
失礼ながら、もう少し詳しく教えていただければ幸いです。

お礼日時：2009/01/17 02:06

No.2 回答者： jaspachate 回答日時： 2009/01/15 05:03

＞X1, X2 が異なる正規分布 N(e1, v1), N(e2, v2) に従う場合

には、単に、
(x1-e1)/√v1、および(x2-e2)/√v2
がそれぞれN(0,1)に従います。従って、これらを用いてχ^2分布を議論できます。もとのx1,x2についてどうなるかは、χ^2分布で、元の変数に変数変換するだけです。

この回答へのお礼

レスありがとうございます。

直接確率変数を変換するか、あるいはモーメント母関数を用いて計算するんだろう、
ということは予想できています。しかし実際にどう計算して、
e1, e2, v1, v2 を含む Y の分布関数 f(y) を求めればよいのかわからず、お聞きしました。

x' = (x-e)/√v を用いて、
f(y) = (カイ2乗分布関数) に対して具体的にどういう操作を施せばよろしいのでしょうか。

すみませんがよろしくお願いいたします。

お礼日時：2009/01/17 01:56

No.1 回答者： cametan_42 回答日時： 2009/01/15 04:07

＞おそらく簡単すぎるために、説明が省かれているのだろうと思う

いや、違うんじゃないでしょうか?そんなのは「カイ二乗分布じゃない」ってだけだと思いますよ。だって定義として「確率変数 X1, X2 が標準正規分布 N(0,1) に従う」ってのが前提なわけですから、その状況以外を考えてもしょうがない、と言うか。少なくとも、そんな分布は「カイ二乗分布」とは呼ばないでしょう。
んで、恐らく質問にあがっているような分布は「存在してない」と思います。と言うか、あるかもしれませんが、少なくとも知ってる範囲で言うと「誰も計算してません」し、「考えてもいない」って事でしょうね。これ計算して綺麗に出したら、貴方の名前付けて発表しても良いくらいかもしれません(笑)。ides分布、とか名づけて(笑)。

あるいは、異なる正規分布は標準正規分布に変換出来るんで、そう言う理由があるかもしれません。
まあ、少なくともそのテの分布は手元の教科書見る限り「存在していません」ね。

この回答へのお礼

レスありがとうございます。

お礼日時：2009/01/17 01:57