四元数群

四元数群Q={±1, ±i, ±j, ±k}について、Qから上への準同型写像φ:Q→Kをつくることのできる群Kは同型を除いて2つある。2通りの場合についてそれぞれKの乗積表と、準同型写像φ:Q→Kの例を少なくとも一つ与えよ。

という問題です。四元数群は、通常のi^2=j^2=k^2=-1をみたすものです。
同型でないもので全射、かつ準同型写像なのですが、うまく例を与えることができません。どなたか知恵を貸していただけないでしょうか。。

No.1 回答者： kabaokaba 回答日時： 2009/01/16 10:05

>四元数群は、通常のi^2=j^2=k^2=-1をみたすものです

これだけじゃないでしょう？
ijk = −1
も必要．

「同型でないもので全射、かつ準同型写像」は
「自明なもの」がかならず一個あります．
それをいれて二個？それとも入れないで三個？

考え方だけ・・・総当たりでみてもつらくはありません．
まずKはどんなに頑張っても要素は8個未満．
そして，要素数1の群は自明な群だから「自明なもの」
要素数が奇数の群，2，3，5，7は巡回群しかなく，
要素数4の群は巡回群かクライン群のみしかなく，
要素数6の群は巡回群か3次対称群のみです．
結局全部で9種類のみです．
さらに四元数群の乗積表を書いて見たり，
四元数群の「生成元」に注目するのも大事でしょう．

No.2 回答者： arrysthmia 回答日時： 2009/01/17 03:21

「上への準同型写像φ:Q→Kをつくることのできる群K」とは

以って回った言い方ですが、要するに、
Ｑの部分群で互いに同型でないものは何通り？ ってことでしょう？

Ｑは { i, j, k } で生成され、かつ、i, j, k について対称なので、
{ i } が生成する部分群(および、それに同型なもの)と
{ i, j } が生成する部分群(および、それに同型なもの)の ２通りです。

No.3 回答者： arrysthmia 回答日時： 2009/01/17 19:49

陳謝して、訂正。

{ i, j } が生成する部分群は、Q そのもので、真部分群にはなりませんね。
もう１個は、二元群 { 1, -1 } でした。
どうやったら、系統的に探せるのか…？

No.4 回答者： muturajcp 回答日時： 2010/03/16 03:42

四元数群Q={±1,±i,±j,±k}とし、Qから上への準同型写像f:Q→Kとし

ker(f)={x∈Q|f(x)=1}とすると
剰余群Q/ker(f)とKは同型となり
ker(f)はQの正規部分群となる
Qの正規部分群ker(f)は
{1}
{±1}=(-1から生成される位数2の巡回群)(x(±1)x^{-1}=(±1)等から正規)
{±1,±i}=(i)=(iから生成される位数4の巡回群)(ji(-j)=-i,ki(-k)=-i等から正規)
{±1,±j}=(j)=(jから生成される位数4の巡回群)(ij(-i)=-j,kj(-k)=-j等から正規)
{±1,±k}=(k)=(kから生成される位数4の巡回群)(ik(-i)=-k,jk(-j)=-k等から正規)
Q
の6通りあるがその内(i)と(j)と(k)は同型となる.
KはQ/ker(f)と同型だから
Q=Q/{1}
Q/{±1}={1,I={±i},J={±j},H={±k}}=(位数4の(巡回でない)可換群)
{±1}～Q/(i)～Q/(j)～Q/(k)=(位数2の巡回群)
{1}=Q/Q
の同型を除いて4通りあるがその内(fが同型写像の場合)Qと(fが零写像の場合){1}を除けば
Q/{±1}と{±1}の2通りとなる.
Q/{±1}={1,I,J,H},I*J=J*I=H=1*H=H*1,J*H=H*J=I=1*I=I*1,H*I=I*H=J=1*J=J*1,I*I=J*J=H*H=1*1=1
{±1},(-1)*1=1*(-1)=-1,(-1)*(-1)=1*1=1