No.3ベストアンサー
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正五角形の作図は、円分方程式
x^5=1 …(1)
を解くことに帰着します。(1)は、
(x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)=0
∴ x=1, x^4+x^3+x^2+x+1=0
∴ x=1, x^2+x+1/x+1/x^2+1=0 …(2)
と同値です。
t=x+1/x
とおけば、
t^2=x^2+1/x^2+2
∴ x^2+1/x^2=t^2-2. …(3)
(3)を(2)に代入すれば、
t^2+t-1=0
∴ t=(-1±√5)/2.
ここで、
t=(-1+√5)/2
なら、
x+1/x=(-1+√5)/2
∴ x^2-{(-1+√5)/2}x+1=0
∴ x=(1-√5)/4±√(10+2√5)i/4. …(4)
また、
t=(-1-√5)/2
なら、
x+1/x=(-1-√5)/2
∴ x^2+{(1+√5)/2}x+1=0
∴ x=(-1-√5)/4±√(10-2√5)i/4. …(5)
したがって、(4),(5)の四つの数と
x=1
が、正五角形の頂点の座標になります。すなわち、単位円を書き、直線
x=(-1+√5)/4
を作図すれば、
(1,0)
と合わせて、二つの頂点を得ることができます。
No.2
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