偏微分方程式

偏微分方程式の問題についてです。

(1)u_xx+4u_xx+4u_yy=0を正規形に変換して解け。
v=x,z=2x-yと置いて解くのですが、この後どうやって解くのでしょうか？

(2)xu_xy=yu_yy+u_yを解け。
を(1)と同じでv=x,z=xyと置いて解くのですが、この後どうやってとくのでしょうか？

No.1 回答者： phyonco 回答日時： 2009/02/01 22:41

1)第２項はu_xyではありませんか？そうなら

l.h.s. = (∂_x + 2∂_y)^2 *u
で解けますね。
2)
r.h.s. = ∂_y(y u_y)
l.h.s. = ∂_y(x u_x)
なので
0 = ∂_y(x u_x - y u_y) = ∂_y(∂_{lnx} - ∂_{lny}) *u
これで解けるでしょう。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

お礼日時：2009/02/02 23:19

No.2 回答者： e_o_m 回答日時： 2009/02/02 03:00

ヒント通りにやるならば

http://okwave.jp/qa4677604.html
の時のようにチェインルールを使えば出来ますね。
∂_y=-∂_z
∂_x=∂_v+2∂_z
(∂_y)^2=(∂_z)^2
(∂_x)^2=(∂_v)^2+4∂_z∂_v+4(∂_z)^2
∂_x∂_y=-∂_z∂_v-2(∂_z)^2
から
u_xx+4u_xy+4u_yy=u_vv-8u_zz=0

(2)も同様に
∂_y=v∂_z
(∂_y)^2=(v∂_z)^2
∂_y∂_x=v∂_v∂_z+∂_z+z(∂_z)^2
を使い
xu_xy=yu_yy+u_y=v^2*u_zv=0
となりますね。

No.3 ベストアンサー 回答者： e_o_m 回答日時： 2009/02/02 03:35

すみません#2の計算が一カ所間違っていました。

＞u_xx+4u_xy+4u_yy=u_vv-8u_zz=0
正しくは
u_xx+4u_xy+4u_yy=u_vv=0
となります。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。

お礼日時：2009/02/02 23:19