A 回答 (6件)
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No.6
- 回答日時:
次のような考え方もあります.
y' を dy/dx であるとして,与式の両辺に y' を乗ずると
y"y' + yy' =0
です.これを変形すると,
((y')^2)' + (y^2)' =0
ですから, A を積分定数として,これを積分すると,
(y')^2 + y^2 = A
になります.これを変形すると,
y' = ±( A - y^2 )^{1/2}
であり,y' = dy/dx により
dy/dx = ±( A - y^2 )^{1/2}
であるから,これは
dx = ±( A - y^2 )^{-1/2} dy
と書けるので,B を積分定数として,更に,これを積分すると,
x = ±∫( A - y^2 )^{-1/2} dy + B
が得られます.これが与式 y" + y =0 の一般解を表示する式です.
設問が「微分方程式の一般解を求めよ」ですから,これでいいと思います.
どこか,間違えているかな?
No.5
- 回答日時:
汚い解答失礼しました。
Tacosanの言う通り、
y''=-ω^2*y
の形の場合は、
y=C1cos(ωx)+C2sin(ωx)と書けることは
常識の範囲内で、物理などをやっていても
様々な範囲で何度も出てきますので覚えて
おいても損はないでしょう。
No.3
- 回答日時:
定数係数の2階微分方程式y''+Py'+Qy=0…☆について、
(ⅰ)特性方程式が複素数解a±ibを持つとき、
☆の一般解は
y=C1exp(ax)cos(bx)+C2exp(ax)sin(bx)…★
と書けます。
なので、この問題では、特性方程式が
λ^2+1=0⇔λ^2=-1⇔λ=±iとなるので、
a=0,b=1として★に代入するだけで作業的に解くことができます。
ちなみに、定数係数の二次方程式において虚数の解が出てくるときは、
その解と共役な複素数(たとえば、a+ibの共役な複素数はa-ib)
も解となるので、虚数の重解が現れることはありません。
また、
(ⅱ)特性方程式が相違なる実数解a1,a2をもつとき、
☆の一般解は
y=C1exp(a1x)+C2exp(a2x)
(ⅲ)特性方程式が重解aをもつとき、
☆の一般解は
y=(C1+C2x)exp(ax)
と書けます。(証明は…勉強してくださいな。かなり基本なのでこれくらいはできた方がいいと思います。)
ちょっと式が見にくかったらきいてくださいなorz
No.2
- 回答日時:
y=e^λxを代入すると
y" + y = 0
→λ^2e^λx + e^λx=(λ^2 + 1)e^λx=0
になりますよね
つまり、λ^2 + 1=0になります
これは重解をもちますか?(私が寝ぼけているだけかもしれませんが)
No.1
- 回答日時:
この回答への補足
早速の回答ありがとうございます。参考にさせていただきます。
重解にはなりませんか…
できれば解答例などいただけるとうれしいです。
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