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No.2
- 回答日時:
11x-97y=1
1次の不定方程式の解法をお調べになると良いでしょう.
(ユークリッドの互除法を使えばいいんでしたね)
さて,一般解 x=-44+97t y=-5+11t を認めていいのなら
|x-y|=|(-44+97t)-(-5+11t)|=|86t-39|(≧0)
これが最小になるのは 関数 y=|86t-39|が t≦39/86 の時は単調減少,t≧39/86の時は単調増加であるから,tが整数の時ならば,t=0,1 の時を比較して,
最小値はt=0の時に |x-y|=|-39|=39・・・(答)
なお,愚直に解けば,例えば次のようになります.
まず特解(解の1つ)を偶然に頼らない方法で求めます.
11x-97y=1
11(x-8y)-9y=1
11a-9y=1・・・(@@) [a=x-8y]
2a+9(a-y)=1
2a+9b=1 [b=a-y]
2(a+4b)+b=1
2c+b=1 [c=a+4b]
ここまでくれば c=0,b=1 という1組が求まります.[この形までくれば,係数が1でない方を0にとれば,必ず整数解が作れます.]
逆に代入して行って a=-4,y=-5,x=-44
よって,特解 xo=-44,yo=-5 が見つかりました.
勿論,(@@)くらいのところでも差が1になる組が見つかればOKで,
45-44=1 より,a=-4,y=-5 として打ち切ってよいです.
さて,11x-97y=0 の一般解は,11と97は互いに素より,
x=97t, y=11t (tは整数)
と書けるので,結局元の方程式(@)の一般解は
x=97t+x0=97t-44, y=11t+y0=11t-5
です.
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