連続の式を満たす条件

二次元非圧縮性流れでｘ方向、ｙ方向の速度成分が次式で表される

u=-A/rsinθ , v=A/rcosθ
(A,Bは定数　r=√(x^2+y^2) tanθ=y/x)

この流れが連続の式を満たすにはAとBの間にどのような関係が成り立つ必要があるか

という問題ですが解き方がわからないのでヒントをいただければと思います

No.3 ベストアンサー 回答者： lycaon 回答日時： 2009/04/29 17:27

回答は既に inara1さんが示されていますので、私は参考意見を。

どんな流れか判らずに計算だけしても、私にはどうも判った気がしません。
式を見て流線が思い浮かぶようになれば、問題を理解できた気がします。
なかなかそうは行きませんが、式が簡単ならなんとか。。。

速度ベクトル図を添付します。（プログラミングに1週間以上かかってもうた・・・）
流速が無限大となる部分は矢印を図示していません。

【1】inara1さんの解釈(1)の場合、例えば A＝B＝1 とおくと、
ｕ(ｘ,ｙ)＝－1/ｙ　・・・(1)
ｖ(ｘ,ｙ)＝1/ｘ　・・・(2)
速度ベクトルは添付図の左です。

(1)式よりｕ(水平方向)は、ｙ＝0（ｘ軸上）で無限大、その上下でｕの符号（矢印の向き）が逆転。
(2)式よりｖ(垂直方向)は、ｘ＝0（ｙ軸上）で無限大、その左右でｖの符号が逆転。
各々原点や軸に近いほど絶対値は大きい。

第１象限は ｘ>0, ｙ>0 で、(1)よりｕは負、(2)よりｖは正なので、合成速度は左上に向かう。
第２象限は ｘ<0, ｙ>0 で、ｕは負、ｖは負なので、左下に向かう。
第３象限は ｘ<0, ｙ<0 で、ｕは正、ｖは負なので、右下に向かう。
第４象限は ｘ>0, ｙ<0 で、ｕは正、ｖは正なので、右上に向かう。
こう考えながら紙に図を書くと、添付図左のような流れが浮かんでくるでしょう。
（なおA,Bとも負なら全部の矢印の向きが逆転し、A,Bの符号が違うと全然違う双曲線のパターンになります。）

【2】inara1さんの解釈(2)の場合、ｒ,θをｘ,ｙに直し、A＝B＝1とおいて、
ｕ(ｘ,ｙ)＝－sinθ/ｒ ＝－ｙ/ｒ＾2　・・・(3)
ｖ(ｘ,ｙ)＝cosθ/ｒ ＝ｘ/ｒ＾2　・・・(4)
但し　ｒ＾2＝ｘ＾2 + ｙ＾2
速度ベクトルは添付図の中央です。
（A、Bとも負なら回転方向は逆になります。）

原点ではどちらの流速も発散（特異点）。
ｕ＝－sinθ/ｒ　と ｖ＝cosθ/ｒ では、分子は－1～1 の間、ｒは幾らでも大きな値をとれるから、各々原点から遠ざかるほど絶対値は小さい。
流れ関数Ψを計算すると、
ｕ＝∂Ψ/∂ｙ＝－ｙ/(ｘ＾2 + ｙ＾2)
ｖ＝－∂Ψ/∂ｘ＝ｘ/(ｘ＾2 + ｙ＾2)
各々積分して　Ψ＝－log（ｘ＾2 + ｙ＾2)＝－2logｒ
Ψ一定の曲線ではｒが一定。流線は同心円になり、合成速度は円の接線方向。
こう考えながら紙に図を書くと、添付図中央のような流れが浮かんでくるでしょう。

【3】前問（問題文を撮影貼付→削除されると思われますので、URL省略）
２次元極座標系（<>は添字）
ｖ<r>＝A/ｒ　・・・(5)
ｖ<θ>＝B/ｒ　・・・(6)

仮にｖ<r>＝0 なら、流線は原点を中心とする同心円で、ｖ<θ>＝B/ｒより ｖ・ｒ＝const、原点の回りの角運動量(mvr)が一定の「自由渦」になります。
ビーカーに水を入れ、マグネット回転子をいれて強攪拌すると、液面の中央が朝顔の花のように凹みますが、その流れ。
自由渦は「渦なしの流れ」だそうです。
（自由渦は発生点以外では「渦度」が 0なので、こう呼ばれるらしいです。しかし個人的には「渦なしって言われても、立派な渦じゃんか。渦度なしの流れに変えて欲しい」と思います。その際にはついでだから、電流は今までの正負を逆にしてね。）

ちなみに「強制渦」は ｖ/ｒ＝const＝ω（角速度）。バケツに水を入れ鉛直軸回りにグルグル回せば、水面ははじっこ程盛り上がって、回転放物面になります・・・腕では疲れるので、遠心分離機で。
強制渦は渦度ζ＝2ωを持ち、全体が固化したように、流体要素は互いの関係位置を保ちます。

前問の問題文より A＝B とは限らないので、A＝2、B＝3とおいて、
ｖ<r>(ｒ,θ)＝2/ｒ
ｖ<θ>(ｒ,θ)＝3/ｒ
速度ベクトルは添付図の右です。

ｖ<r>≠0 なので、Bが正（下図）なら、原点からの湧き出しと、自由渦の合成になっています。
ｖ<r>の符号、つまり(5)のAの正負に従い、原点での湧き出しまたは吸い込みとなり、それと自由渦の合成になります。
ｖ<θ>の符号、つまり(6)のBの正負に従い、回転方向は左回りまたは右回りに変わります。
回転しながら原点に吸い込まれる自由渦は、風呂の栓を抜けば観察できます。

No.2 回答者： inara1 回答日時： 2009/04/25 19:25

数式は * と (　） を使って誤解のない表記としたほうがいいです。

ご質問の速度成分が以下のどちらの意味かで結果が違ってきます。
　（1）　u = -A/( r*sinθ ) 、v = B/( r*cosθ )
　（2）　u = -( A*sinθ )/r、v = ( B*cosθ )/r
tanθ = y/x、r = √( x^2 + y^2 ) なら、sinθ = y/r、cosθ = x/r ですから、これを上式に代入すれば上式の u と v を x と y で表わすことができます。

二次元の非圧縮性流れでの連続の式というのは
　　∂u/∂ｘ + ∂v/∂y = 0
です。（１）の場合、∂u/∂ｘ = ∂v/∂y = 0 となって、A, B のよらず連続の式が成り立ってしまうので、正しい問題の式は（２）のほうでしょう（その場合、 A = B が連続の式が成り立つ条件です） 。

No.1 回答者： doc_sunday 回答日時： 2009/04/25 17:33

>AとBの間

って、Bが無いんですが。(汗;

この回答への補足

すいませんｖのところのAがBです

補足日時：2009/04/25 18:15