本の計算途中に合同式が出てきたのですが、なぜこうなるのかが分かりません><

7/2 = 7・2^-1 = 7・6 = 56 ≡ 1 (mod 11)

あと、

1(0 - 10) ≡ 0 (mod 11)

教えてください><;;

A 回答 (2件)

簡単に言ってしまうと、a ≡ b (mod c)は


「aをcで割った余りと、bをcで割った余りが等しい」
ということを表します
(正しくは、「a - bをcで割りきれるなら、a ≡ b (mod c)」です)。

> 7/2 = 7・2^-1 = 7・6 = 56 ≡ 1 (mod 11)

2^(-1)は「2をかけると1になる数」と考えて下さい。

11を法とする合同式で、2とかけ算をすると

2・0 ≡ 0 (mod 11) (0を11で割った余りは0)
2・1 ≡ 2 (mod 11) (2を11で割った余りは2)
2・2 ≡ 4 (mod 11) (4を11で割った余りは4)
2・3 ≡ 6 (mod 11) (6を11で割った余りは6)
2・4 ≡ 8 (mod 11) (8を11で割った余りは8)
2・5 ≡ 10 (mod 11) (10を11で割った余りは10)
2・6 ≡ 12 ≡ 1 (mod 11) (12を11で割った余りは1)
2・7 ≡ 14 ≡ 3 (mod 11) (14を11で割った余りは3)
2・8 ≡ 16 ≡ 5 (mod 11) (16を11で割った余りは5)
2・9 ≡ 18 ≡ 7 (mod 11) (18を11で割った余りは7)
2・10 ≡ 20 ≡ 9 (mod 11) (20を11で割った余りは9)

となります。ここから「2をかけると1になる数」は6だと分かります。
よって11を法とする合同式では2^(-1) ≡ 6となるので、
7/2 ≡ 7・2^(-1) ≡ 7・6 ≡ 42 ≡ 9 (mod 11)
となります。

> 1(0 - 10) ≡ 0 (mod 11)

1(0 - 10) ≡ 1 (mod 11)
となるはずです。
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この回答へのお礼

なるほど!両辺に1をかけたことにより、2^-1をなくしたわけですね^^

非常に分かりやすかったです!ありがとうございました^^
きっと問題が間違ってるのですね^^;

お礼日時:2009/05/11 22:54

7・6 = 56 ?


問題をしっかり写してください。最初から最後まで疑わしい。

この回答への補足

いえ…こうなってるんです><
誤植なんですかね^^;

スタートとmod 11 はこれで合ってるので、この場合計算するとどうなるのでしょうか><?

補足日時:2009/05/11 21:57
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この回答へのお礼

紛らわしくなってしまい申し訳ないです^^;
もしかしたらmodだと変わった計算になるのかと思いそのまま載せました。

回答ありがとうございました!

お礼日時:2009/05/11 23:04

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Q『全国大学入試問題正解 (英語国立大編2004)』はどうやったら入手できますか?

『全国大学入試問題正解 (英語国立大編2004)』(旺文社)はどうやったら入手できますか?

『英語問題の徹底的研究―大学入試 (2004年度国公立大学編)』(研究社編集部 (編さん) )も見当たりません。

もしかして,これらはもう増刷予定はないのでしょうか?

Aベストアンサー

旺文社の2004年度版の数学私立、英語私立、国語私立は5月に発売されたばかりのようですね。
英語国立はまだ発売されていないのではないかと思います。

大学入試問題は、夏くらいまでに、順番に出るはずですから、もう少し待ってみたらいかがでしょうか。

Qf(x1,x2)=12x1x2(1-x2) (0

[問]同時確率密度関数f(x1,x2)=
12x1x2(1-x2) (0<x1<1,0<x2<1の時)
0 (その他の時)
における確率変数X1とX2が独立である事を示せ。

が示せず困っています。
どのようにして示せますでしょうか?

一応,定義は下記の通り,調べてみました。
確率空間(Ω,F,P)(Fはσ集合体,(F上の関数)Pを確率とする)
そしてΩからR^dへの写像を確率ベクトルという。
この確率空間(Ω,F,P)と別の集合Sがある時,Sの値をとるΩの上の確率変数Xが与えら
れた時,
B_X:={E⊂S;X^-1(E)∈F}とすると新しい確率空間(S,B_X,P_X)が得られる。
このP_Xを確率分布といい,特にXがX=(X1,X2)という確率ベクトルになっている時,
P_XをX1,X2の同時分布という。
独立とは∀A1,A2∈Fに於いて,P(X1∈A1,X2∈A2)=P(X1∈A1)P(X2∈A2)が成り立つ事で
ある。

「確率分布関数 f(x,y)において、
f1(x)=∫[-∞,∞]f(x,y) dy
f2(y)=∫[-∞,∞]f(x,y) dx
と定義すると、確率変数x,yが独立であることの必要十分条件は
f(x,y)=f1(x)f2(y)」
と思いますので

f1(x1)=∫[-∞~∞]12x1x2(1-x2)dx2
=∫[-∞~∞](12x1x2-12x1x2^2)dx2
=[6x1x2^2-4x1x2^3]^∞_-∞

f2(x2)=∫[-∞~∞]12x1x2(1-x2)dx1
=∫[-∞~∞](12x1x2-12x1x2^2)dx2
=[6x1^2x2-6x1^2x2^2]^∞_-∞

と求めましたがこれから先に進めません。どのようにすればいいのでしょうか?

[問]同時確率密度関数f(x1,x2)=
12x1x2(1-x2) (0<x1<1,0<x2<1の時)
0 (その他の時)
における確率変数X1とX2が独立である事を示せ。

が示せず困っています。
どのようにして示せますでしょうか?

一応,定義は下記の通り,調べてみました。
確率空間(Ω,F,P)(Fはσ集合体,(F上の関数)Pを確率とする)
そしてΩからR^dへの写像を確率ベクトルという。
この確率空間(Ω,F,P)と別の集合Sがある時,Sの値をとるΩの上の確率変数Xが与えら
れた時,
B_X:={E⊂S;X^-1(E)∈F}とすると新しい確率空間(S,B_X,P_X)が得られ...
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Aベストアンサー

>f1(x1)=∫[-∞~∞]12x1x2(1-x2)dx2
f1(x1)=∫[-∞,∞]f(x1,x2) dx2=∫[0,1]f(x1,x2) dx2
=∫[0~1]12x1x2(1-x2)dx2
>=∫[-∞~∞](12x1x2-12x1x2^2)dx2
=12x1∫[0~1](x2-x2^2)dx2
>=[6x1x2^2-4x1x2^3]^∞_-∞
=2x1*[3x2^2 -2x2^3] [x2:0~1]
=2x1*(3-2)=2x1 (0<x1<1)
f1(x1)=0 (0<x1<1以外)

>f2(x2)=∫[-∞~∞]12x1x2(1-x2)dx1
f2(x2)=∫[-∞~∞]1f(x1,x2)dx1=∫[0~1]1f(x1,x2)dx1
=∫[0~1]12x1x2(1-x2)dx1
>=∫[-∞~∞](12x1x2-12x1x2^2)dx2
=12x2(1-x2)∫[0~1] x1dx1
>=[6x1^2x2-6x1^2x2^2]^∞_-∞
=6x2(1-x2)[x1^2] [x1:0~1]
=6x2(1-x2) (0<x2<1)
f2(x2)=0 (0<x2<1以外)

f1(x1)f2(x2)=2x1*6x2(1-x2)
=12x1x2(1-x2)=f(x1,x2) (0<x1<1,0<x2<1の時)
f1(x1)f2(x2)=0=f(x1,x2)(0<x1<1,0<x2<以外の時)

>f1(x1)=∫[-∞~∞]12x1x2(1-x2)dx2
f1(x1)=∫[-∞,∞]f(x1,x2) dx2=∫[0,1]f(x1,x2) dx2
=∫[0~1]12x1x2(1-x2)dx2
>=∫[-∞~∞](12x1x2-12x1x2^2)dx2
=12x1∫[0~1](x2-x2^2)dx2
>=[6x1x2^2-4x1x2^3]^∞_-∞
=2x1*[3x2^2 -2x2^3] [x2:0~1]
=2x1*(3-2)=2x1 (0<x1<1)
f1(x1)=0 (0<x1<1以外)

>f2(x2)=∫[-∞~∞]12x1x2(1-x2)dx1
f2(x2)=∫[-∞~∞]1f(x1,x2)dx1=∫[0~1]1f(x1,x2)dx1
=∫[0~1]12x1x2(1-x2)dx1
>=∫[-∞~∞](12x1x2-12x1x2^2)dx2
=12x2(1-x2)∫[0~1] x1dx1
>=[6x1^2x2-6x1^2x2^2]^∞_-∞
=6x2...続きを読む

Q大学入試問題に著作権は?

私は大学入試問題をかなり作りました。
それらの問題は私に無断で入試問題集の中に採用され、
無料ならともかく、有料で入試問題集は販売されています。
入試問題に著作権はありませんか。入試問題は誰が作ったかは秘密になっていますから、私に著作権がないのは当然なのですが、大学に著作権はないのでしょうか。
問題を作るのは、解くよりずっと大変な事なのです。
著作権が無いのなら、その理由を教えてください。

Aベストアンサー

大学入試問題の場合,一般に教員の問題作成委員などが問題を作ります.ご質問者がその大学の業務を執行する目的でその役割を果たしたのであれば,その大学が「無断で採用」するということではないと思われます.

また,著作権法15条で「職務上作成する著作物の著作者」は 「法人その他使用者」となり,ご質問者がその業務に従事する大学と考えられます.つまり,大学に著作権があるので,「無断で」ということにはなりません.

大学の入試問題で,公表された他の著作物を複製・使用する場合がありますが,法36条で著作権の例外として(事前)許諾無しの使用が認められています.しかし,試験終了後の(過去)問題集の発行では,著作権者の許諾が必要です.

確かに大学の入試問題を作るのは,ミスが許されないとか,社会的な影響が大きいとか,「解くよりずっと大変」です.しかし,それはその大学の本来の業務です.
入試委員の作業が大変であるのと,一方で,少子化や定員割れを背景に,筆記試験を受けないでも合格する入試形態(面接のみとか)が増えていることもあり,最近は,入試問題の作成を外部業者に発注する例が増えています.その結果,過去問題集も,一部を除けば,あまり必要でなくなったようです.

大学入試問題の場合,一般に教員の問題作成委員などが問題を作ります.ご質問者がその大学の業務を執行する目的でその役割を果たしたのであれば,その大学が「無断で採用」するということではないと思われます.

また,著作権法15条で「職務上作成する著作物の著作者」は 「法人その他使用者」となり,ご質問者がその業務に従事する大学と考えられます.つまり,大学に著作権があるので,「無断で」ということにはなりません.

大学の入試問題で,公表された他の著作物を複製・使用する場合がありますが,法36条...続きを読む

Qa≡b(mod m),c≡d(mod m)⇒ac≡bd(mod m)の逆は成立つ?

こんにちは。

参考書に合同式3x+5≡7(mod11)の解き方が載ってまして

3x≡2(mod11)
12x≡8(mod11)
x≡8(mod11)

とすんなり解かれていたのですが
最後の部分は命題
a≡b(mod m),c≡d(mod m)⇒ac≡bd(mod m)
(12≡1(mod11),x≡8(mod11)⇒12・x≡1・8(mod11))
の逆を使ったのかと推測しましたが一般に逆は成立つのですか?

それとも別の命題を使われてるのでしょうか?

Aベストアンサー

逆は成り立ちません。
そもそも、
>ac≡bd(mod m)
の左辺も右辺も分解は一意ではないですし。(例えば、a*cとも,1*(ac)とも表せる)

該当する部分で使っているのは、
・12x-x=11xが11の倍数である事、すなわち、12x≡x (mod 11)が成り立つ事
・推移律(a≡b,b≡c⇒a≡c)
の2つです。

Q社会人の方に質問します。あなたは今の大学入試問題、解けますか?

社会人の方が、一念発起して大学入試に挑戦することがあります。
よく目にするのは、いわゆる芸能人の方が大学や大学院入試に挑戦してワイドショーなどで取り上げられる場合です。
まあ、口の悪い人の中には
「芸能人、有名人は大学や大学院広告塔になってくれるから、無試験とか、簡単な作文とか、面接試験だけで入学できるんだよ」
と言いますが、全てがそうだとは思いません。
また、芸能人ほどの有名人ではなくとも、「大学は通ったが、社会人になって改めて勉強したいことができたから、もう一度大学に行く」
と言って、高校卒業時に入学した大学とは全く別の学部学科の大学に入り直す人もいます。
(新聞記者などにこういう人が多いような気がします)

私なんぞは、今の大学入試どころか、高校入試問題、
いやいや、電車の中に貼ってある日能研の問題すら怪しいのですが。。。。

大学を卒業した社会人の方にお聞きします。
あなたは今時の大学入試問題、解けますか?
(まあ、大学入試問題にも難易度は千差万別ありますので、とりあえず、大学入試センター試験レベル、とします)

社会人の方が、一念発起して大学入試に挑戦することがあります。
よく目にするのは、いわゆる芸能人の方が大学や大学院入試に挑戦してワイドショーなどで取り上げられる場合です。
まあ、口の悪い人の中には
「芸能人、有名人は大学や大学院広告塔になってくれるから、無試験とか、簡単な作文とか、面接試験だけで入学できるんだよ」
と言いますが、全てがそうだとは思いません。
また、芸能人ほどの有名人ではなくとも、「大学は通ったが、社会人になって改めて勉強したいことができたから、もう一度大学に...続きを読む

Aベストアンサー

国語なら今のほうが点数いいかも。でも、ドクター取る以外で、今さら大学行っても何もメリットない気もしますが。

Q材料力学(数学)の問題です。 0<x<bでy=ax、b<x<2bでy=ab、2b<x<3bでy=-a

材料力学(数学)の問題です。

0<x<bでy=ax、b<x<2bでy=ab、2b<x<3bでy=-ax+3abである関数のグラフを描け。a、bは正の定数とする。
この問題の解き方を教えて下さい。わかりやすく解説してくだされば有難いです。

Aベストアンサー

0<x<bでy=ax
これは単なる比例です。aが正の定数なので、0を通る右上がりの直線ですね。

b<x<2bでy=ab
a,bが定数なので、abも定数です。
x=bの時「y=ax」=「y=ab」であるので、
y=axのx=bにおけるyから横一直線ですね。

2b<x<3bでy=-ax+3ab
これは最初の比例のグラフと傾きが正負逆になっていますね。
x=2bの時y=-2ab+3ab=ab、
x=3bの時y=-3ab+3ab=0
となる右下がりの直線ですね。

x=0,b,2b,3bは範囲外となります。
グラフを描く時に境界部分で○とするか●とするか間違わないように。

Q旺文社 『全国大学入試問題正解』

旺文社の『全国大学入試問題正解』の2000~2005年の5ヵ年分がほしいですが、2005年のものしか売ってません。手に入れるには、どうすればいいでしょうか。book off を全部まわるわけにはいかないし。なにか、
古本を販売している通販のサイトとかないでしょうか?とにかく手に入れたいんです。

Aベストアンサー

過去問を調べる上で、旺文社の「電話帳」(これは、我々業界の符牒ですが)は、レベルが低いということをお知らせしておきます。というのは、誤りが多いのです。多分、締切が早く、急ごしらえのせいでしょう。所謂『赤本』の方が信頼できます。もっとも、自分が見た経験では、旺文社も赤本も間違っていたこともありますが…。それと、旺文社の「電話帳」は、掲載されている大学が限定されています。具体的に、目指す大学があるならば、むしろ、その大学のwebサイトを当たられるが、予備校に配られている過去問集(いずれも、限られた大学ですが)を頼りにした方がよいのではないでしょうか。

Qa^n≡b^n(mod c)ならばa≡b(mod c)

文中の文字は一般的な数学公式集の条件と同じと考えて下さい。
合同式
a≡b(mod c)ならば a^n≡b^n(mod c) は成り立ちますが

a^n≡b^n(mod c)ならばa≡b(mod c) は成り立ちますか。

公式集でa≡b(mod c)ならば a^n≡b^n(mod c) はよく見ますが逆は見ません。
a^n≡b^n(mod c)ならばa≡b(mod c) が成り立つとお考えの場合には成り立つと断言して下さい。大変申し訳ないのですが質問者に対する疑問文で回答を終わらせないで下さい。
反例をあげて成り立たないと書く場合にはどういうときに成り立ち、どういうときに成り立たないかお書き下さい。

Aベストアンサー

ふつうこの手の命題は
任意の a, b, c, n に対して「a^n≡b^n(mod c)ならばa≡b(mod c)」が成り立つ
と読むし, その観点でいえば #5 で言われているように「反例を 1つ挙げる」だけで終わる.

「どういうときに成り立ち、どういうときに成り立たないか」ということを問題にするなら
a, b, c, n のうちどれを固定してどれを「任意に設定できる」ものにするか
というところから話はスタートする (すべてを任意に選んでいいなら上で終わってるし, 逆にすべて given では話にならない). 議論として面白いのは
c と n を固定したときに, 任意の a と b に対して「a^n≡b^n(mod c)ならばa≡b(mod c)」が成り立つかどうか
だろうけど, そうだとしても厳密に答えようとすると高校ではしないような話が出てくる (あるいはそのような話を使った方が議論が簡単) んじゃないかな.

Q大学入試問題について

早速質問をさせていただきます。

学習参考書の大手出版社や、大手予備校などは全国の大学入試問題を
どのように手に入れているのでしょうか。
やはり各大学から出版社や予備校へ送られてくる形でしょうか。
一般人は入試問題を全てそろえることは非常に大変であるため、
皆様からのご回答をお待ちしております。

よろしくお願い致します。

Aベストアンサー

簡単に回答しますが、ほとんどのケースではもらってきてます。
返送用封筒を送ることで、送ってもらえる私立大もありますが、多くの場合、もらってきます。
また、受験してきた学生からもらう場合もあります。

各大学の入試関係の部署に連絡をしてみてください。

Qgcd(p,q)=1,∃a,b∈G;#G=pq,#=p,#=qならばGは巡回群

gcd(p,q)=1とする。(G,・)を位数pq(つまり#G=pq)のアーベル群とせよ。
aの位数がp,bの位数がq(つまり#<a>=p,#<b>=q)であるような元a,b∈Gが存在する時,
(G,・)は巡回群である事(つまり,∃g∈G;<g>=G)を示せ。
また,このような群Gの例を挙げよ。

という問題はどのようにして示せばいいか分かりません。

是非,ご教示ください。m(_ _)m

Aベストアンサー

問題の条件においてGの元abの位数を考えてみましょう。
また例の方はp=2,q=3などとすればすぐに挙げられるでしょう。


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