正規直交座標系における2階のテンソルの座標変換(回転操作)について教えて下さい。
座標変換の行列をA
その転置行列をtA
座標変換前の2階のテンソルをT
座標変換後の2階のテンソルをT'
とすると、
T' = A T tA  …式(1)
と表されるところまでは分かるのですが、これを成分で表すと
T'ij =aik ajl Tkl  …式(2)
となるところが分からず困っています。
どう分からないのかと言いますと、
行列の積の計算には交換則AB=BAが成り立たないと習ったので、
なぜ式(1)のTとtAをひっくり返して式(2)の順番にして良いのかが分からないのです。
詳しい方お教え下さい。

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A 回答 (6件)

行列積の場合、


AB の第 (i,j) 成分は、(AB)[i,j] = Σ{k=1…n} A[i,k] B[k,j]
BA の第 (i,j) 成分は、(BA)[i,j] = Σ{k=1…n} B[i,k] A[k,j]
で、この二つは、確かに違います。

Σ があると見難いなら、n を限定して、例えば n = 4 のとき、
(AB)[i,j] = A[i,1] B[1,j] + A[i,2] B[2,j] + A[i,3] B[3,j] + A[i,4] B[4,j]
(BA)[i,j] = B[i,1] A[1,j] + B[i,2] A[2,j] + B[i,3] A[3,j] + A[i,4] B[4,j]
を比較すればよいでしょう。

しかし、
(AB)[i,j] = B[1,j] A[i,1] + B[2,j] A[i,2] + B[3,j] A[i,3] + B[4,j] A[i,4]
と書いても式は変わらないので、
(AB)[i,j] = Σ{k=1…n} A[i,k] B[k,j] と
(AB)[i,j] = Σ{k=1…n} B[k,j] A[i,k] とは同じものです。

T'ij =aik Tkl ajl と
T'ij =aik ajl Tkl も同じ。

アインシュタイン記法を使うと、Σ をあからさまに書かないので、
かえって判り難いですね。

この回答への補足

ご回答ありがとうございます。
 aik bki = bki aik
のお話は、確かに考えてみればおっしゃる通りで目から鱗が落ちました。
ありがとうございます。
お陰様で
 T'ij =aik ajl Tkl  …式(2)
が出てくる前に
 T'ij =aik Tkl ajl  …式(3)
があることまでは理解できました。

実は式(3)を見てもまだ分からないことが3点あります。
1点目はAkira_Oji様への補足にも書いたのですが、
 aik Tkl alj
の形になっていれば行列の積の計算ができることを容易に理解できるのですが、
 aik Tkl ajl
ですとTkl とajl が列同士の内積をとるような形になるので、行列の積の定義とは違う計算になるのではないかと思うことです。

2点目は
 T' = A T tA  …式(1)
からどうやって
 T'ij =aik Tkl ajl  …式(3)
が出てくるか分からないことです。
座標変換後のテンソル成分の添字がijなので、座標変換行列の添字にiとjが含まれる要請があることは分かるのですが、
そもそも成分がaikである行列Aの、転置行列であるtAの成分はakiではないのかという疑問が湧いてしまいます。

3点目は
 T' = A T tA  …式(1)

 T'ij =aik Tkl ajl  …式(3)
と表されることを了解し、
 T'ij =aik ajl Tkl  …式(2)
と変形できるところまで了解したとして、
成分表示から再び元のAやTの表記に戻しますと
 T' = A tA T  …式(4)
となり、今考えているのが正規直交座標系ですからA tA=Eより、
 T’= T
になってしまうのではないかと思うことです。

恐らく、基本的な部分が理解できていないことによる誤解があるものと思いますが、
自分では何が理解できていないのか分かりません。
恐れ入りますが、お教え頂けますと幸いです。

補足日時:2009/05/16 07:03
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(問)「Aの成分表示がaikである場合、tAをストレートに成分表示するとakiになる気がします。


(答)その通りです。

(問)「それが式(2)ではajlと表されている、この間の事情がよく分かりません。
tAはakiとも表現できるが、積の計算定義に合わせて便宜的にajlと表現していると理解すればよろしいでしょうか。」
(答)便宜的ではありません。
式(2)の「左辺」では添え字はiとjの2つだけです。「右辺」にはi, j, k, lと4つの添え字があります。しかし、左辺と右辺は「=」でつながれているので、「左辺」の添え字は「右辺」の添え字と同じでなければなりません。
T'ij =aik ajl Tkl  …式(2)
式(2)では、添え字kとlについて「和」をとることになっています。(アインシュタインの約束: 2度繰り返された添え字に関しては和をとる。)添え字kについて和をとるというのは、kを1から順番に変えながらそれらの項を足していくので、足した後は「添え字の意味がなくなっている。」
式(2)を順次元の意味に戻して考えていきましょう。
T'ij =aik・ajl・Tkl  
=(A)_ik・(A)_jl・(T)_kl

このなかの添え字でkとlに関しては和をとるので、「行列の積の意味を持たせるように和をとるには」掛ける2数のうち「最初の数の列の添え字」と「次の数の行の添え字」が一致するようにしなければなりません。
添え字kについては、(A)_ik の列と(T)_klの行がkですから、これらを「隣同士」になるように並べ替えると
=(A)_ik・(T)_kl・(A)_jl
よって、最初の2つの数については「行列の積」どおりの順序になっています。
つぎに、添え字「l」に関しては、第3の数(A)_jl では「l」は「列」の添え字ですが、前の(T)_klでも「列の位置」に「l」があるので、「行列の積」どおりの順序になるように(A)_jl のほうを調節する必要があります。(A)_jl =(tA)_ljの関係を使えば
=(A)_ik・(T)_kl・(tA)_lj
これで添え字の並びが整ったので、添え字kについて和をとると、
=(AT)_il・(tA)_lj
添え字lについて和をとると、
=(ATtA)_ij
となって添え字はiとjだけになりました。したがって、「行列の積」になるように、掛ける因子の順序や添え字の位置を考えると自然と結果は一通りに決まってきます。

(問)「そしてもう一点、
T'ij =aik ajl Tkl  …式(2)

T' = A (tA) T
の成分表示であると考えてよろしいでしょうか。
そうするとAは直交行列なので A (tA) = E となり、結局
T' = T
になるような気がします。
どこが間違っているのでしょうか。」

(答)上述したように、この質問については、
「AとtAが隣り合った行列の積」のようには添え字は並んでいません。
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この回答へのお礼

ありがとうございました。
お陰様で全ての疑問が解決しました。

T' = A T (tA)

T' = A (tA) T
になって
T' = T
になるのではないかとの話は、
そもそも行列の積の計算に交換則は成り立たないのであり得ませんでしたね。
成分の添字を気にしすぎる余り、基本的なことが見えていなかったと思います。
お恥ずかしい限りです。

途中からは当初の質問とは外れていたと思いますが、
私が理解するまでご親切にお付き合い頂き感謝しております。

お礼日時:2009/05/19 07:20

> Aの成分表示がaikである場合、tAをストレートに成分表示するとakiになる気がします。


> それが式(2)ではajlと表されている、この間の事情がよく分かりません。

tA の第 (i,k) 成分は、aki で合っています。(l,j) 成分なら、ajl です。

式(3)… T'ij = aik Tkl ajl では、
A の (i,k) 成分と T の (k,l) 成分を掛けて、k で Σ することで、
A T の (i,l) 成分を求め、
それと tA の (l,j) 成分を掛けて、l で Σ することで、
A T tA の (i,j) 成分を求めているのです。

No.2 で、AB = Σ{k=1…n} A[i,k] B[k,j] ではなく、
(AB)[i,j] = Σ{k=1…n} A[i,k] B[k,j] と書いた理由なども考えてみてください。

> T'ij =aik ajl Tkl は、
> T' = A (tA) T の成分表示であると考えてよろしいでしょうか。

駄目です。
A (tA) T の成分表示なら、(i,j) 成分が aip aqp Tqk になります。
p, q をどのように置換しても、aik ajl Tkl と同じにはならない
ことを確認しておきましょう。実際に試してみれば判ります。
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この回答へのお礼

ありがとうございます。
自分の間違いに気付きました。
> tA の第 (i,k) 成分は、aki で合っています。(l,j) 成分なら、ajl です。
まさにその通りですよね。
ljはikとは関係のない、別の添字だということをうっかりしていました。

お忙しいところ、丁寧にお教え頂きありがとうございました。

お礼日時:2009/05/19 07:08

第2回答者のArrysthmiaさんに説明していただいたように、テンソルの積も行列の積も基本的に同じです。



(繰り返しになりますが)
行列AとBの積はABのときは成分で書けば、ABの(i,j)-成分はAのk列成分とBのk行成分を一致するように走らせて、
(AB)_ij=Σ_{k} A_ik・B_kj
のように和を取ります。(arrysthmiaさんが説明されているものに同じ。)

さて、Aの転置行列tAの(i,j)成分は
(tA)_ij=A_ji
これは転置行列の定義のようなものです。

ですから、TとtAの積T(tA)の(i,j)成分は
{T(tA)}_ij=Σ_{k} T_ik・(tA)_kj
ここで第2因子の(tA)_kjは上述の転置行列の定義により、A_jkに等しいので
{T(tA)}_ij=Σ_{k} T_ik・A_jk
となります。ここで第2因子の添え字の順序が入れ替わっています。

行列AとBの積は順序が違えば、結果は異なってくるのは、ご存知の通りで(arrysthmiaさんが説明されているものに同じ。)成分で書けば
(AB)_ij=Σ_{k} A_ik・B_kj
(BA)_ij=Σ_{k} B_ik・A_kj

行列AとBの積では行列AとBの順序を変えると結果は変わってきますが、行列成分の計算のなかで、例えば上述の
(AB)_ij=Σ_{k} A_ik・B_kj
のなかでは成分の積A_ik・B_kjは単なる2数の掛け算ですから、順序を入れ替えてB_kj・A_ikとしてもいいわけですが、添え字はそのまま付いて行きます。
これが以前述べた「テンソルの要素ですから、ただの掛け算で、交換可能です」の意味です。これもarrysthmiaさんが説明されています。

この回答への補足

ご回答ありがとうございました。
積TAは TAij = Tik Akl のようにTの列の添字とAの行の添字が一致していないと計算できないとの先入観がありました。
Aは(tA)の転置行列ですから Tik Ajk = Tik (tA)kj なんですね。
ご丁寧に解説頂いたおかげでよく分かりました。
ありがとうございます。m(_ _)m

ところで、arrysthmia様のご回答への補足でもお聞きしている話ですが、
Aの成分表示がaikである場合、tAをストレートに成分表示するとakiになる気がします。
それが式(2)ではajlと表されている、この間の事情がよく分かりません。
tAはakiとも表現できるが、積の計算定義に合わせて便宜的にajlと表現していると理解すればよろしいでしょうか。

そしてもう一点、
T'ij =aik ajl Tkl  …式(2)

T' = A (tA) T
の成分表示であると考えてよろしいでしょうか。
そうするとAは直交行列なので A (tA) = E となり、結局
T' = T
になるような気がします。
どこが間違っているのでしょうか。

お時間のある時によろしくお願いします。

補足日時:2009/05/17 08:21
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ミスプリ:


(BA)[i,j] = B[i,1] A[1,j] + B[i,2] A[2,j] + B[i,3] A[3,j] + B[i,4] A[4,j]
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式(2)の因子を並べ替えるだけです。

これらはテンソルの要素ですから、ただの掛け算で、交換可能です。まず、第2因子を一番うしろにもってきます。

T'ij =aik ajl Tkl  …式(2)

    =aik Tkl ajl  ...(2’)

次に一般に元のテンソル要素は(A)_ij=aij とき、
転置の要素は(tA)_ij=(A)_ji=ajiなので、(2’)は

    =(A)ik Tkl (tA)lj  ...(2’)

行列の積のように、これはkとlについての和がありますから、
AT(tA)
のことです。



                                 。

この回答への補足

ご回答ありがとうございます。
恥ずかしながら自分の学力がご回答を理解できる域に達していないのでもう少しご説明をお願いします。

テンソルの要素が交換可能という部分ですが、これはつまり行列の積とは異なる演算をしているということでしょうか。
私は下記式(1)は行列の積の計算だと思っていました。
 T' = A T tA  …式(1)
式(1)は正規直交座標系における2階のテンソルの回転変換に関するもので、
教科書(物理の教科書です)ではTもAも3×3行列で表記されていたからです。
ですから式(1)を成分で表した式(2)も当然行列の積の計算だと思っていました。
実は式(1)の計算自体が、行列の積とは違うものだと理解すればよろしいでしょうか?
今私が持っている教科書は式(1)が如何にも行列の積の計算だと思わせるような内容になっています。
何か参考になる本やサイトをご存知でしたらご紹介頂けませんか。

もう一点、
 aik Tkl ajl  ...(2’)
 =(A)ik Tkl (tA)lj  ...(2’)
が行列の積のように扱えるという部分ですが、
 aik Tkl alj
の形になっていれば行列の積の計算ができることを容易に理解できるのですが、
 aik Tkl ajl
ですとTklとajlが列同士の内積をとるような形になるので、私が習った行列の積の演算とは違うもののように感じてしまいます。

恐れ入りますが、もう少し初歩的な部分からご説明をお願いしますm(_ _)m。

補足日時:2009/05/16 05:51
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> もう少し時間がかかりそう

つまり、全く分かんないってことですね。だとすれば、回答の説明が悪いんですから、書き直しましょう。

 ご質問にある

> 三次元極座標(r,θ,φ)の発散

という何とも乱暴な(座標は発散なんか持たない。ベクトル場の発散でしょうがよ)言葉遣いからして、なんかおかしい。もしかするとご質問の疑問は、

  (1)ベクトル場Aは3次元空間中の各点で定義されている、
という定義域の話と、
  (2)ベクトル場Aは空間中の各点に3次元ベクトルを対応させる、
という値域の話とをごっちゃになさっているだけではないか?

と推測される。というのは、ご質問にある、

> 三次元極座標においてベクトル場A(A1,A2,A3)

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 さて、

> そもそも円柱座標のdivergenceでz軸方向の偏微分項を消せば、2次元極座標のdivergenceと一致する

の「消す」の意味ですけど、それは「消えるようにする」ということではなく、自分で勝手に「無視する」という意味でしょう。 この操作によって、R^2→R^2の別のベクトル場を作る。するだとすればそれはまさしく、ANo.2でθ=0のところで説明した、射影で作ったベクトル場Bのこと。
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 そういう2次元ベクトル場Bについてなら、3次元のdivergenceと2次元のdivergenceと「一致する」のは当たり前である。これはAとは何の関係もない話で、最初っから平面上で任意の2次元ベクトル場B:R^2→R^2を考えれば当たり前に成り立つことである。

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ANo.2へのコメントについてです。

> もう少し時間がかかりそう

つまり、全く分かんないってことですね。だとすれば、回答の説明が悪いんですから、書き直しましょう。

 ご質問にある

> 三次元極座標(r,θ,φ)の発散

という何とも乱暴な(座標は発散なんか持たない。ベクトル場の発散でしょうがよ)言葉遣いからして、なんかおかしい。もしかするとご質問の疑問は、

  (1)ベクトル場Aは3次元空間中の各点で定義されている、
という定義域の話と、
  (2)ベクトル場Aは空間中の各点に3次元ベクトルを対応...続きを読む

Q応力テンソル

応力テンソルってそもそもなんですか?教えて下さい。
慣性モーメントのところでもテンソルというのは出てきたのですが、どちらも形が決まっているのです?
また、応力テンソル(3×3行列)か何が読みとれるのですか?

Aベストアンサー

再びNo.1です。
>テンソルの中に3つの不変量があると僕のプリントに書いてあるのですが

テンソルの主値すなわちd11,d22,d33の成分だけの応力テンソルによるものです。下記のHPを参照して下さい。

参考URL:http://topgun.gaea.kyushu-u.ac.jp/~kame/seismology/text/node12.html

Q座標変換について (テンソル解析)

高度な数学の質問になります。宜しくお願いします。
テンソル解析をしていて出てきた疑問です。

yi=f(x1,x2,x3)
によって、x1,x2,x3がy1,y2,y3による新しい変数へ変換される、座標変換を考えます。

逆変換を
x1=g(y1,y2,y3)
とします。
このような変換が、変数(x1,x2,x3)のある領域Rにおいて可逆であり、1対1対応をもつための条件が

(1)Rにおいて関数fは一価、連続であり、連続な偏導関数をもつこと

(2)関数行列式(ヤコビアン)Jが領域Rのいかなる点においても0にならないこと

となる理由を教えて欲しいのですが。
微積の教科書を洗ってみましたが、基礎教養の微積でしたので、書いてありませんでした。

どうか、数学に詳しい方、詳しく教えてください。宜しくお願いします。

なお、このことが詳しく書いてあるリンクを教えてくださっても結構でございます。宜しくお願いします。

Aベストアンサー

http://en.wikipedia.org/wiki/Inverse_function_theorem


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