正規直交座標系における2階のテンソルの座標変換(回転操作)について教えて下さい。
座標変換の行列をA
その転置行列をtA
座標変換前の2階のテンソルをT
座標変換後の2階のテンソルをT'
とすると、
T' = A T tA  …式(1)
と表されるところまでは分かるのですが、これを成分で表すと
T'ij =aik ajl Tkl  …式(2)
となるところが分からず困っています。
どう分からないのかと言いますと、
行列の積の計算には交換則AB=BAが成り立たないと習ったので、
なぜ式(1)のTとtAをひっくり返して式(2)の順番にして良いのかが分からないのです。
詳しい方お教え下さい。

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A 回答 (6件)

行列積の場合、


AB の第 (i,j) 成分は、(AB)[i,j] = Σ{k=1…n} A[i,k] B[k,j]
BA の第 (i,j) 成分は、(BA)[i,j] = Σ{k=1…n} B[i,k] A[k,j]
で、この二つは、確かに違います。

Σ があると見難いなら、n を限定して、例えば n = 4 のとき、
(AB)[i,j] = A[i,1] B[1,j] + A[i,2] B[2,j] + A[i,3] B[3,j] + A[i,4] B[4,j]
(BA)[i,j] = B[i,1] A[1,j] + B[i,2] A[2,j] + B[i,3] A[3,j] + A[i,4] B[4,j]
を比較すればよいでしょう。

しかし、
(AB)[i,j] = B[1,j] A[i,1] + B[2,j] A[i,2] + B[3,j] A[i,3] + B[4,j] A[i,4]
と書いても式は変わらないので、
(AB)[i,j] = Σ{k=1…n} A[i,k] B[k,j] と
(AB)[i,j] = Σ{k=1…n} B[k,j] A[i,k] とは同じものです。

T'ij =aik Tkl ajl と
T'ij =aik ajl Tkl も同じ。

アインシュタイン記法を使うと、Σ をあからさまに書かないので、
かえって判り難いですね。

この回答への補足

ご回答ありがとうございます。
 aik bki = bki aik
のお話は、確かに考えてみればおっしゃる通りで目から鱗が落ちました。
ありがとうございます。
お陰様で
 T'ij =aik ajl Tkl  …式(2)
が出てくる前に
 T'ij =aik Tkl ajl  …式(3)
があることまでは理解できました。

実は式(3)を見てもまだ分からないことが3点あります。
1点目はAkira_Oji様への補足にも書いたのですが、
 aik Tkl alj
の形になっていれば行列の積の計算ができることを容易に理解できるのですが、
 aik Tkl ajl
ですとTkl とajl が列同士の内積をとるような形になるので、行列の積の定義とは違う計算になるのではないかと思うことです。

2点目は
 T' = A T tA  …式(1)
からどうやって
 T'ij =aik Tkl ajl  …式(3)
が出てくるか分からないことです。
座標変換後のテンソル成分の添字がijなので、座標変換行列の添字にiとjが含まれる要請があることは分かるのですが、
そもそも成分がaikである行列Aの、転置行列であるtAの成分はakiではないのかという疑問が湧いてしまいます。

3点目は
 T' = A T tA  …式(1)

 T'ij =aik Tkl ajl  …式(3)
と表されることを了解し、
 T'ij =aik ajl Tkl  …式(2)
と変形できるところまで了解したとして、
成分表示から再び元のAやTの表記に戻しますと
 T' = A tA T  …式(4)
となり、今考えているのが正規直交座標系ですからA tA=Eより、
 T’= T
になってしまうのではないかと思うことです。

恐らく、基本的な部分が理解できていないことによる誤解があるものと思いますが、
自分では何が理解できていないのか分かりません。
恐れ入りますが、お教え頂けますと幸いです。

補足日時:2009/05/16 07:03
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(問)「Aの成分表示がaikである場合、tAをストレートに成分表示するとakiになる気がします。


(答)その通りです。

(問)「それが式(2)ではajlと表されている、この間の事情がよく分かりません。
tAはakiとも表現できるが、積の計算定義に合わせて便宜的にajlと表現していると理解すればよろしいでしょうか。」
(答)便宜的ではありません。
式(2)の「左辺」では添え字はiとjの2つだけです。「右辺」にはi, j, k, lと4つの添え字があります。しかし、左辺と右辺は「=」でつながれているので、「左辺」の添え字は「右辺」の添え字と同じでなければなりません。
T'ij =aik ajl Tkl  …式(2)
式(2)では、添え字kとlについて「和」をとることになっています。(アインシュタインの約束: 2度繰り返された添え字に関しては和をとる。)添え字kについて和をとるというのは、kを1から順番に変えながらそれらの項を足していくので、足した後は「添え字の意味がなくなっている。」
式(2)を順次元の意味に戻して考えていきましょう。
T'ij =aik・ajl・Tkl  
=(A)_ik・(A)_jl・(T)_kl

このなかの添え字でkとlに関しては和をとるので、「行列の積の意味を持たせるように和をとるには」掛ける2数のうち「最初の数の列の添え字」と「次の数の行の添え字」が一致するようにしなければなりません。
添え字kについては、(A)_ik の列と(T)_klの行がkですから、これらを「隣同士」になるように並べ替えると
=(A)_ik・(T)_kl・(A)_jl
よって、最初の2つの数については「行列の積」どおりの順序になっています。
つぎに、添え字「l」に関しては、第3の数(A)_jl では「l」は「列」の添え字ですが、前の(T)_klでも「列の位置」に「l」があるので、「行列の積」どおりの順序になるように(A)_jl のほうを調節する必要があります。(A)_jl =(tA)_ljの関係を使えば
=(A)_ik・(T)_kl・(tA)_lj
これで添え字の並びが整ったので、添え字kについて和をとると、
=(AT)_il・(tA)_lj
添え字lについて和をとると、
=(ATtA)_ij
となって添え字はiとjだけになりました。したがって、「行列の積」になるように、掛ける因子の順序や添え字の位置を考えると自然と結果は一通りに決まってきます。

(問)「そしてもう一点、
T'ij =aik ajl Tkl  …式(2)

T' = A (tA) T
の成分表示であると考えてよろしいでしょうか。
そうするとAは直交行列なので A (tA) = E となり、結局
T' = T
になるような気がします。
どこが間違っているのでしょうか。」

(答)上述したように、この質問については、
「AとtAが隣り合った行列の積」のようには添え字は並んでいません。
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この回答へのお礼

ありがとうございました。
お陰様で全ての疑問が解決しました。

T' = A T (tA)

T' = A (tA) T
になって
T' = T
になるのではないかとの話は、
そもそも行列の積の計算に交換則は成り立たないのであり得ませんでしたね。
成分の添字を気にしすぎる余り、基本的なことが見えていなかったと思います。
お恥ずかしい限りです。

途中からは当初の質問とは外れていたと思いますが、
私が理解するまでご親切にお付き合い頂き感謝しております。

お礼日時:2009/05/19 07:20

> Aの成分表示がaikである場合、tAをストレートに成分表示するとakiになる気がします。


> それが式(2)ではajlと表されている、この間の事情がよく分かりません。

tA の第 (i,k) 成分は、aki で合っています。(l,j) 成分なら、ajl です。

式(3)… T'ij = aik Tkl ajl では、
A の (i,k) 成分と T の (k,l) 成分を掛けて、k で Σ することで、
A T の (i,l) 成分を求め、
それと tA の (l,j) 成分を掛けて、l で Σ することで、
A T tA の (i,j) 成分を求めているのです。

No.2 で、AB = Σ{k=1…n} A[i,k] B[k,j] ではなく、
(AB)[i,j] = Σ{k=1…n} A[i,k] B[k,j] と書いた理由なども考えてみてください。

> T'ij =aik ajl Tkl は、
> T' = A (tA) T の成分表示であると考えてよろしいでしょうか。

駄目です。
A (tA) T の成分表示なら、(i,j) 成分が aip aqp Tqk になります。
p, q をどのように置換しても、aik ajl Tkl と同じにはならない
ことを確認しておきましょう。実際に試してみれば判ります。
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この回答へのお礼

ありがとうございます。
自分の間違いに気付きました。
> tA の第 (i,k) 成分は、aki で合っています。(l,j) 成分なら、ajl です。
まさにその通りですよね。
ljはikとは関係のない、別の添字だということをうっかりしていました。

お忙しいところ、丁寧にお教え頂きありがとうございました。

お礼日時:2009/05/19 07:08

第2回答者のArrysthmiaさんに説明していただいたように、テンソルの積も行列の積も基本的に同じです。



(繰り返しになりますが)
行列AとBの積はABのときは成分で書けば、ABの(i,j)-成分はAのk列成分とBのk行成分を一致するように走らせて、
(AB)_ij=Σ_{k} A_ik・B_kj
のように和を取ります。(arrysthmiaさんが説明されているものに同じ。)

さて、Aの転置行列tAの(i,j)成分は
(tA)_ij=A_ji
これは転置行列の定義のようなものです。

ですから、TとtAの積T(tA)の(i,j)成分は
{T(tA)}_ij=Σ_{k} T_ik・(tA)_kj
ここで第2因子の(tA)_kjは上述の転置行列の定義により、A_jkに等しいので
{T(tA)}_ij=Σ_{k} T_ik・A_jk
となります。ここで第2因子の添え字の順序が入れ替わっています。

行列AとBの積は順序が違えば、結果は異なってくるのは、ご存知の通りで(arrysthmiaさんが説明されているものに同じ。)成分で書けば
(AB)_ij=Σ_{k} A_ik・B_kj
(BA)_ij=Σ_{k} B_ik・A_kj

行列AとBの積では行列AとBの順序を変えると結果は変わってきますが、行列成分の計算のなかで、例えば上述の
(AB)_ij=Σ_{k} A_ik・B_kj
のなかでは成分の積A_ik・B_kjは単なる2数の掛け算ですから、順序を入れ替えてB_kj・A_ikとしてもいいわけですが、添え字はそのまま付いて行きます。
これが以前述べた「テンソルの要素ですから、ただの掛け算で、交換可能です」の意味です。これもarrysthmiaさんが説明されています。

この回答への補足

ご回答ありがとうございました。
積TAは TAij = Tik Akl のようにTの列の添字とAの行の添字が一致していないと計算できないとの先入観がありました。
Aは(tA)の転置行列ですから Tik Ajk = Tik (tA)kj なんですね。
ご丁寧に解説頂いたおかげでよく分かりました。
ありがとうございます。m(_ _)m

ところで、arrysthmia様のご回答への補足でもお聞きしている話ですが、
Aの成分表示がaikである場合、tAをストレートに成分表示するとakiになる気がします。
それが式(2)ではajlと表されている、この間の事情がよく分かりません。
tAはakiとも表現できるが、積の計算定義に合わせて便宜的にajlと表現していると理解すればよろしいでしょうか。

そしてもう一点、
T'ij =aik ajl Tkl  …式(2)

T' = A (tA) T
の成分表示であると考えてよろしいでしょうか。
そうするとAは直交行列なので A (tA) = E となり、結局
T' = T
になるような気がします。
どこが間違っているのでしょうか。

お時間のある時によろしくお願いします。

補足日時:2009/05/17 08:21
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ミスプリ:


(BA)[i,j] = B[i,1] A[1,j] + B[i,2] A[2,j] + B[i,3] A[3,j] + B[i,4] A[4,j]
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式(2)の因子を並べ替えるだけです。

これらはテンソルの要素ですから、ただの掛け算で、交換可能です。まず、第2因子を一番うしろにもってきます。

T'ij =aik ajl Tkl  …式(2)

    =aik Tkl ajl  ...(2’)

次に一般に元のテンソル要素は(A)_ij=aij とき、
転置の要素は(tA)_ij=(A)_ji=ajiなので、(2’)は

    =(A)ik Tkl (tA)lj  ...(2’)

行列の積のように、これはkとlについての和がありますから、
AT(tA)
のことです。



                                 。

この回答への補足

ご回答ありがとうございます。
恥ずかしながら自分の学力がご回答を理解できる域に達していないのでもう少しご説明をお願いします。

テンソルの要素が交換可能という部分ですが、これはつまり行列の積とは異なる演算をしているということでしょうか。
私は下記式(1)は行列の積の計算だと思っていました。
 T' = A T tA  …式(1)
式(1)は正規直交座標系における2階のテンソルの回転変換に関するもので、
教科書(物理の教科書です)ではTもAも3×3行列で表記されていたからです。
ですから式(1)を成分で表した式(2)も当然行列の積の計算だと思っていました。
実は式(1)の計算自体が、行列の積とは違うものだと理解すればよろしいでしょうか?
今私が持っている教科書は式(1)が如何にも行列の積の計算だと思わせるような内容になっています。
何か参考になる本やサイトをご存知でしたらご紹介頂けませんか。

もう一点、
 aik Tkl ajl  ...(2’)
 =(A)ik Tkl (tA)lj  ...(2’)
が行列の積のように扱えるという部分ですが、
 aik Tkl alj
の形になっていれば行列の積の計算ができることを容易に理解できるのですが、
 aik Tkl ajl
ですとTklとajlが列同士の内積をとるような形になるので、私が習った行列の積の演算とは違うもののように感じてしまいます。

恐れ入りますが、もう少し初歩的な部分からご説明をお願いしますm(_ _)m。

補足日時:2009/05/16 05:51
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http://www.wolframalpha.com/input/?i=sin%28sqrt%28x^2%2B0.3*y^2%29%29
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K=(kx,ky,kz)=(1,0.3,0)
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logとln
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こんにちは。

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質問:「(1)式を証明せよ」と言われたのですが、どうすれば言いかわかりません。やり方を教えてもらえませんか_| ̄|○

Aベストアンサー

「格子定数」「ミラー指数」などと出てくると構えてしまいますが、この問題の本質は3次元空間での簡単な幾何であり、高校生の数学の範囲で解くことができます。

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大雑把に言えばミラー指数は法線ベクトルのようなものです。特に立方晶であれば法線ベクトルと全く同じになります。すなわち立方晶の(111)面の法線ベクトルは(1,1,1)ですし、(100)面の法線ベクトルは(1,0,0)です。法線ベクトルなら「ミラー指数」よりずっと親しみがあり解けそうな気分になると思います。

さて(hkl)面に相当する平面の方程式を一つ考えてみましょう。一番簡単なものとして
hx + ky + lz=0  (1)
があります。(0,0,0)を通る平面で法線ベクトルは(h,k,l)です。
これに平行な、隣の平面の式はどうでしょうか。
hx + ky + lz = a  (2a)
hx + ky + lz = -a  (2b)
のいずれかです。これがすぐ隣の平面である理由(そのまた間に他の平面が存在しない理由)は脚注*2に補足しておきました。
点と直線の距離の公式を使えば、題意の面間隔dは原点(0,0,0)と平面(2a)の間隔としてすぐに
d=a/√(h^2+k^2+l^2)  (3)
と求められます。

点と直線の距離の公式を使わなくとも、次のようにすれば求められます。
原点Oから法線ベクトル(h,k,l)の方向に進み、平面(2a)とぶつかった点をA(p,q,r)とします。
OAは法線ベクトルに平行ですから、新たなパラメータtを用いて
p=ht, q=kt, r=lt  (4)
の関係があります。
Aは平面(2a)上の点でもありますから、(4)を(2a)に代入すると
t(h^2+k^2+l^2)=a
t=a/(h^2+k^2+l^2)  (5)
を得ます。
ここにOAの長さは√(p^2+q^2+r^2)=|t|√(h^2+k^2+l^2)なので、これを(5)に代入して
|a|/√(h^2+k^2+l^2)  (6)
を得ます。OAの長さは面間隔dにほかならないので、(3)式が得られたことになります。

bokoboko777さん、これでいかがでしょうか。

*1 (h, k, l)の組が共通因数を持つ場合には、共通因数で割り互いに素になるようにします。例えば(111)面とは言いますが(222)面なる表現は使いません。
*2 左辺はhx+ky+lzでよいとして、なぜ右辺がaまたは-aと決まるのか(0.37aや5aにならないのは何故か)は以下のように説明されます。
平面をhx+ky+lz = C (Cはある定数)と置きます。この平面は少なくとも一つの格子点を通過する必要があります。その点を(x0,y0,z0)とします。
h,k,lはミラー指数の定義から整数です。またx0,y0,z0はいずれもaの整数倍である必要があります(∵格子点だから)。すると右辺のCも少なくともaの整数倍でなければなりません。
次に右辺の最小値ですが、最小の正整数は1ですから平面hx + ky + lz = aが格子点を通るかどうかを調べ、これが通るなら隣の平面はhx + ky + lz = aであると言えます。このことは次の命題と等価です。
<命題>p,qが互いに素な整数である場合、pm+qn=1を満たす整数の組(m,n)が少なくとも一つ存在する
<証明>p,qは正かつp>qと仮定して一般性を失わない。
p, 2p, 3p,...,(q-1)pをqで順に割った際の余りを考えてみる。
pをqで割った際の余りをr[1](整数)とする。同様に2pで割った際の余りをr[2]・・・とする。
これらの余りの集合{r[n]}(1≦n≦(q-1))からは、どの二つを選んで差をとってもそれはqの倍数とは成り得ない(もし倍数となるのならpとqが互いに素である条件に反する)。よって{r[n]}の要素はすべて異なる数である。ところで{r[n]}は互いに異なる(q-1)個の要素から成りかつ要素は(q-1)以下の正整数という条件があるので、その中に必ず1が含まれる。よって命題は成り立つ。

これから隣の平面はhx + ky + lz = aであると証明できます。ただここまで詳しく説明する必要はないでしょう。証明抜きで単に「隣の平面はhx + ky + lz = aである」と書くだけでよいと思います。

参考ページ:
ミラー指数を図なしで説明してしまいましたが、図が必要でしたら例えば
http://133.1.207.21/education/materdesign/
をどうぞ。「講義資料」から「テキスト 第3章」をダウンロードして読んでみてください。(pdfファイルです)

参考URL:http://133.1.207.21/education/materdesign/

「格子定数」「ミラー指数」などと出てくると構えてしまいますが、この問題の本質は3次元空間での簡単な幾何であり、高校生の数学の範囲で解くことができます。

固体物理の本では大抵、ミラー指数を「ある面が結晶のx軸、y軸、z軸を切る点の座標を(a/h, b/k, c/l)とし、(h, k, l)の組をミラー指数という(*1)」といった具合に説明しています。なぜわざわざ逆数にするの?という辺りから話がこんがらがることがしばしばです。
大雑把に言えばミラー指数は法線ベクトルのようなものです。特に立方晶であれば法線ベ...続きを読む

Q行列の正定・半正定・負定

行列の正定・半正定・負定について自分なりに調べてみたのですが、
イマイチ良くわかりません。。。
どなたか上手く説明していただけないでしょうか?
過去の質問の回答に

>cを列ベクトル、Aを行列とする。
>(cの転置)Ac>0
>となればAは正定値といいます。
>Aの固有値が全て正であることとも同値です。

とあったのですが、このcの列ベクトルというのは
任意なのでしょうか?
また、半正定は固有値に+と-が交じっていて、
負定は固有値が-のみなのですか?

どなたかお願いしますorz

Aベストアンサー

まず、行列の正定・半正定・負定値性を考えるときは、
行列は対称行列であることを仮定しています。
なので、正確な定義は、

定義 n次正方 "対称" 行列 A が正定値行列であるとは、
『ゼロベクトルではない任意の』n次元(列)ベクトル c に対して、
(cの転置)Ac>0
となることである。

です。

対称行列Aが正定値なら、その固有値はすべて正です。
(cとして固有ベクトルをとってみればよいでしょう。)
逆に、対称行列Aの固有値がすべて正なら、Aは正定値行列です。

ただし、対称行列ではないAの固有値がすべて正だからといって、
(cの転置)Ac>0とは限りません。
例えば、
A =
[ 1 4 ]
[ 0 1 ]
とすると、Aは対称行列ではなく、固有値は1です。
しかし、
(cの転置) = [ 1, -2]
とすると、
(cの転置)Ac = -3 < 0
となってしまいます。(実際に計算して確かめてください。)
なので、行列Aが対称行列であるという条件はとても重要です。

また、半正定値の定義は、上の定義で
『ゼロベクトルではない任意の』 --> 『任意の』
と書き直したものです。
このとき、半正定値行列の固有値はすべて0以上です。(つまり0も許します。)
逆に、対称行列の固有値がすべて0以上なら、その行列は半正定値です。

さらに、負定値の定義は、『ゼロではない任意の』ベクトルcに対して
(cの転置)Ac<0
となることです。
固有値についてはもうわかりますね。

まず、行列の正定・半正定・負定値性を考えるときは、
行列は対称行列であることを仮定しています。
なので、正確な定義は、

定義 n次正方 "対称" 行列 A が正定値行列であるとは、
『ゼロベクトルではない任意の』n次元(列)ベクトル c に対して、
(cの転置)Ac>0
となることである。

です。

対称行列Aが正定値なら、その固有値はすべて正です。
(cとして固有ベクトルをとってみればよいでしょう。)
逆に、対称行列Aの固有値がすべて正なら、Aは正定値行列です。

ただし、対称行列...続きを読む

Q数学 行列 テンソル について

テンソルについて教えて下さい。

2階のテンソルやn階のテンソルですが、これは3×3の正方行列以外のものもあるのですか?
何件か資料を調べてみたのですが、どれも3×3の正方行列での説明で気になりました。

例えば、2×2や2×3の行列は2階のテンソルと言えるのでしょうか?

もう一点教えて下さい。
1階のテンソルの例も3次の列ベクトルでした。
例えば、
(a1)
(a2)
のように2次の列ベクトルは1階のテンソルと言えるのでしょうか?
また、列ベクトルではなく
(a1 a2)と行ベクトルも1階のテンソルと言っていいのでしょうか?

以上、ご回答よろしくお願い致します。

Aベストアンサー

ベクトルは1階のテンソルです。
そして、
スカラーは0階のテンソルでございます。

普通、テンソルは、3×3ですけれど、2×2もあれば、4×4もあります。
1×1でも構いやしない(ニコニコ)。

Q波長(nm)をエネルギー(ev)に変換する式は?

波長(nm)をエネルギー(ev)に変換する式を知っていたら是非とも教えて欲しいのですが。
どうぞよろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

No1 の回答の式より
 E = hc/λ[J]
   = hc/eλ[eV]
となります。
波長が nm 単位なら E = hc×10^9/eλ です。
あとは、
 h = 6.626*10^-34[J・s]
 e = 1.602*10^-19[C]
 c = 2.998*10^8[m/s]
などの値より、
 E≒1240/λ[eV]
となります。

>例えば540nmでは2.33eVになると論文には書いてあるのですが
>合っているのでしょうか?
λに 540[nm] を代入すると
 E = 1240/540 = 2.30[eV]
でちょっとずれてます。
式はあっているはずです。

Q速度ポテンシャルと流れ関数

二次元非圧縮性流れでx,y方向の速度成分が

u=2xy
v=x^2-y^2+1

であるとき、速度ポテンシャルφ、流れ関数ψの
求めからが分かりません。

ぜひ、教えてください。

Aベストアンサー

W(z)=φ+iψ とおくと、

dW/dz = u-iv
   = 2xy-i(x^2-y^2+1)
   = -i(z^2+1)

より、両辺をzで積分して

W(z) = ∫(-i(z^2+1))dz
   = -i(z^3/3 + z) + const.
   = -i((x+iy)^3/3 + (x+iy) + C0+iC1
   = x^2y-y^3/3+y+C0 + i(xy^2-x^3/3-x+C1)

よって

φ = x^2y-y^3/3+y+C0
ψ = xy^2-x^3/3-x+C1

となります。

Qポアソン比と張力の関係!?

長さl、ヤング率Eの一様な棒の一端を固定し、
他端にTの張力を加えたとき、棒の体積ΔVだけ
変化した。ポアッソン比を求めよ。

という問題で苦戦しています。
ポアッソン比とはσ=Δd/d/Δl/l
と書いてあるのですがまったく分かりません。
いろいろ調べてみたのですが、E=2G(1+μ)この
公式はよく分からないし、
p(張力)=E(ヤング率)a(伸び率)
と書いてあったのですが、その伸び率も分かりません。
火曜日提出の課題なのですが分からないので教えてください。
お願いします。

Aベストアンサー

普通の材料力学のテキストに載っているような問題ですが、テキストを読むよりここでの回答の方がよく理解できた(?)ということもままありますから(←以下の回答がそれに該当するかどうかはまったく別)、蛇足ながら知識の整理をと回答のヒントを書いておきます。
●ポアソン比・・・縦と横の歪みの比
長さL0、直径d0の丸棒(あるいは横幅d0の角棒)を引っ張っると棒は引っ張り方向に△lだけ伸びて長さがLになり、幅は△dだけ縮んでdになったとします。このとき単位あたりの伸びあるいは縮みを”ひずみ”と呼んでεで表すと2つのひずみが定義できますね。すなわち
(1) ε=(L-L0)/L0=△L/L0 ・・・縦ひずみ
(2) ε’=(d-d0)/d0=△d/d0・・・横ひずみ
この縦ひずみと横ひずみの比は材料によって一定の値をとることが知られていますが、その比を
(3) ν=-ε’/ε 
と表して、このν(質問ではσと表記)をポアソン比と
呼んでいます。
●E:ヤング率・・・応力と歪の間の比例係数
一端が壁に固定されている棒を考える(←両端から引っ張ってもよい)。引っ張り方向に垂直な断面ABの面積をAとし、引っ張る力をPとした場合、単位断面積あたりに作用する力を応力(引っ張る場合:引っ張り応力、圧縮する場合:圧縮応力という)と呼び次式で定義されます。
(4) σ=P/A ・・・応力
応力(4)とひずみ(1)の間に比例関係がある場合、比例乗数をEとすると
(5) σ=Eε
と表され、この関係をフックの法則と呼んでいますが、この比例定数Eをヤング率(縦弾性係数)と呼んでいます。
●横弾性係数・・・せん断応力とせん断歪みの間の比例係数
右図のように一端に   A|    ↓P
加重Pが作用する場    |--- 
合、AB面には上の   ↑|    |
方向に応力が発生し   B|---
その合計は加重Pに    |
等しくなります。こ
のような作用面に沿って生じる応力を「せん断応力」と呼び、これは次式で定義されます。
(6) τ=P/A (A:ABの面積)
次に、6面体ABCDの周辺にせん断応力が作用すると、変形します。その変形分をせん断歪と呼び、普通γの記号で表されます(図はここではうまく書けませんので適当なテキストを見てください)。せん断応力τとせん断歪γの間にも比例関係が成立して
(7) τ=Gγ
なる関係があります。このGを横弾性係数(あるいは剛性率)と呼んでいます。
●E=2G(1+ν)
以上の話から、この式はヤング率と横弾性係数、ポアソン比の間に成り立つ関係を表していることが分かります。この式は理論的に導かれますが、ここでは大変なので適当な材料力学のテキストを参照してください。
>p(張力)=E(ヤング率)a(伸び率)
と書いてあったのですが
(4)と(5)より
(8) P/A=Eε⇒P=EεA⇒P=Eε(A:単位面積とする)

>長さL、ヤング率Eの一様な棒の一端を固定し、
他端にTの張力を加えたとき、棒の体積ΔVだけ
変化した。ポアッソン比を求めよ。

・棒の断面は単位面積(d=1)と仮定します。
・△V=V-V’
  V=L×A=L
  V'=(L+△L)×(d-△d)^2
   =(L+△L)×(1-2△d)・・△d^2は微小量でカットした
   =L-2L△d+△L ・・2△L△dは微少量でカット
 △V=2L(△d-△L/L)=2L(ε’-ε)
   =2εL(-ν-1) ・・(1)(2)を使う
   =-2PL(ν+1)/E ・・(8)を使う
これから
 ν=-(E△V/2PL+1)
となったが間違っているかもしれません(←その可能性大)。ご自分で計算してみてください。

普通の材料力学のテキストに載っているような問題ですが、テキストを読むよりここでの回答の方がよく理解できた(?)ということもままありますから(←以下の回答がそれに該当するかどうかはまったく別)、蛇足ながら知識の整理をと回答のヒントを書いておきます。
●ポアソン比・・・縦と横の歪みの比
長さL0、直径d0の丸棒(あるいは横幅d0の角棒)を引っ張っると棒は引っ張り方向に△lだけ伸びて長さがLになり、幅は△dだけ縮んでdになったとします。このとき単位あたりの伸びあるいは縮みを”ひずみ”と呼ん...続きを読む

Q位相速度と群速度の違い

位相速度と群速度の違いがよくわかりません。
違いを教えてください。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

位相速度と群速度の定義は既に書かれている人がいるので割愛させていただきます。これがそれぞれ何を表しているか?ということですが、以下のようなものです。

○位相速度
平面はの山の間隔からもとまるものです。光速度を超える可能性があります。これは情報を伝達することが無いので相対論にも反しません。

○群速度
その名の通り群(波群)の速度です。周波数の似たような波を重ね合わせることで波束を作成し、その波束が移動する速度になります。波束は情報伝達をするので光速度を超えることが出来ません。
群速度はこのように複数の波を重ね合わせた時に始めて出てくる概念です。


具体的な式は下記のサイトを参考にして下さい。

http://letsphysics.blog17.fc2.com/blog-entry-138.html

参考URL:http://letsphysics.blog17.fc2.com/blog-entry-138.html


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