積分がにがてで,どうしてもわからないので教えてください.
∫(-∞→∞)exp[(2ρuv-v^2)/2]dv
を積分するのですが,私の答えは,exp[(ρ^2・u^2)/2]になるのですが,答えが合いません.教えてください

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A 回答 (6件)

>私の答えは,exp[(ρ^2・u^2)/2]になるのですが



 ということは、与式が exp[(ρ^2・u^2)/2] ∫[-∞→∞] exp[-(v-ρu)^2/2]dv と書きかえられるところまではOKですね。
 あとは、この式の定積分の部分だけを求めていきます。

1) 変数変換 x=v-ρu を行います。
  ∫[-∞→∞] exp[-(v-ρu)^2/2]dv
 =∫[-∞→∞] exp[-x^2/2]dx
 =2∫[0→∞] exp[-x^2/2]dx (∵被積分関数は偶関数なので)

2) 定積分∫[0→∞] exp[-x^2/2]dx は、2乗して計算します。(定石です。)

  [∫[0→∞] exp[-x^2/2]dx]^2
 =∫[0→∞] exp[-x^2/2]dx ∫[0→∞] exp[-y^2/2]dy
 =∫[0→∞]∫[0→∞] exp[-(x^2+y^2)/2]dxdy

 xy直交座標系をrθ極座標系に座標変換(変数変換)します。

 =π/2 ∫[0→∞] exp[-r^2/2]r dr
 =π/2

 ∴ ∫[0→∞] exp[-x^2/2]dx=√(π/2)

3) 求めた値をそれぞれ代入します。
 (与式)=exp[(ρ^2・u^2)/2]×2√(π/2)
     =√(2π) exp[(ρ^2・u^2)/2]
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この回答へのお礼

ありがとうございます

お礼日時:2009/05/30 10:30

ミスプリ陳謝 :


e~-(原点からの距離)~2 の 全平面についての積分を、
直交座標と極座標の二通りに、
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この回答へのお礼

ありがとうございます

お礼日時:2009/05/30 10:29

暗記は、忘れるもの。

公式は、間違えるもの。
公式暗記に頼るのは、危ういですね。
今回のミスは、その実例でしょう。

∫exp(-x~2)dx の計算は、
e~-(原点からの距離) の全平面についての積分を、
直交座標と極座標の二通りに、反復積分で表す
のが定石です。

印象的な解法ですから、
一度自分で計算を実行しておけば、
公式の棒暗記と違って忘れるにくいでしょう。
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この回答へのお礼

ありがとうございます

お礼日時:2009/05/30 10:29

v-ρu=tとおくと


∫(-∞→∞)exp[(2ρuv-v^2)/2]dv
=exp{(ρ^2*u^2)/2}∫(-∞→∞)exp[-(t^2)/2]dt
=exp{(ρ^2*u^2)/2}*√(2π)

次式は正規分布確率密度関数の性質の公式です。
{1/√(2π)}∫(-∞→∞)exp[-(t^2)/2]dt=1…(●)

>私の答えは,exp[(ρ^2・u^2)/2]になるのですが,
∫(-∞→∞)exp[-(t^2)/2]dt=1
としていませんか? (●)の公式をちゃんと知っていれば
√(2π)が出てくると思います。
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この回答へのお礼

ありがとうございます

お礼日時:2009/05/30 10:30

∫(-∞→∞)exp[(2ρuv-v^2)/2]dv


=exp((ρu)^2/2)∫(-∞→∞)exp[-(v-ρu)^2/2]dv
は導けてると思います。ρuが有限である限り積分は(2π)^0.5
よって答えは質問者の解に(2π)^0.5を掛けたものです。
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この回答へのお礼

ありがとうございます

お礼日時:2009/05/30 10:30

∫[-∞,∞]exp([2ρuv-v^2]/2)dv


=∫[-∞,∞]exp([-(v-ρu)^2+ρ^2*u^2]/2)dv
=∫[-∞,∞]exp([-(v-ρu)^2]/2)*exp([ρ^2*u^2]/2)dv
=exp([ρ^2*u^2]/2)∫[-∞,∞]exp([-(v-ρu)^2]/2)dv
=exp([ρ^2*u^2]/2)∫[-∞,∞]exp([-v^2]/2)dv
(積分範囲が(-∞,∞)ですのでρuずらしても結果は変わらない)
となります。
後ろの積分の値はπ^0.5となりますので、この分が異なります。
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この回答へのお礼

ありがとうございました

お礼日時:2009/05/30 10:28

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