画像の問題で、以下のように解いたのですが、a+b-4≠0の場合が求まりません。
a+b-4≠0より、、a+b-4で割って、

A=kI (k=(-a+ab-2)/(a+b-4))

として与えられた式にAを代入してkを求めたのですが、そうすると、Aは対称行列になってしまいます。

これではa,bが決定できません。

この場合は、a+b-4≠0ではa,bが決定できないということにして、a+b-4=0のときのみを考えればよいのですか?


わかいにくい文章かと思いますがよろしくお願いします。

「行列についての問題です。」の質問画像

A 回答 (5件)

ケーリー・ハミルトンの定理から


A^2-(a11+a12)A+(a11a22-a12a21)I=0

これと
A^2-5A-2I=0
を素直に比較すれば

a+(b+1)=5 → a-3=1-b
a(b+1)-2ab=-2 → a(1-b)=-2

この2つの式を連立にして解けば
a(a-3)+2=a^2-3a+2=(a-1)(a-2)=0から
(解けると思いますので途中略)
(a,b)=(2,2),(1,3)
と出てきますよ。
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問題文中の式は


ケーリーハミルトン式と思われる。
「行列についての問題です。」の回答画像5
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「ケーリー・ハミルトンの定理の逆が成り立たないこと」は, 例えば「A を n次単位行列とすると A-I=O だけど A の固有多項式は x-1 じゃない」というだけで終わり. 次数をそろえても A^n - I = O だけど固有多項式は x^n - 1 じゃないから結局は同じこと.


ただし「多項式 f(x) が f(A) = O を満たすなら f(x) は A の最小多項式で割り切れる」ことは正しい. したがって, 今の問題では
「A の最小多項式は x^2 - 5x - 2 かその 2つの因数のいずれか」
であることは言える. だから, 2つの因数がいずれも A の最小多項式ではないといってから #2 のように進める (あるいはその逆順) のは OK.
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>この場合は、a+b-4≠0ではa,bが決定できないということにして、a+b-4=0のときのみを考えればよいのですか?



 その通りです。

 a+b-4≠0のとき、左辺を零行列にするa,bの組み合わせが存在しないので<解なし>ということになります。
 そのため、解はa+b-4=0の場合から求めることになります。


 ところで、ケーリー・ハミルトンの定理は逆も真なのでしょうか。
 それが言えれば#2さんの解法も成り立ちますが。

この回答への補足

回答ありがとうございます。

ケーリー・ハミルトンの定理は逆は一般的には成り立たないようです。
詳しい証明はまだ理解していませんが。

補足日時:2009/05/22 00:06
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>この場合は、a+b-4≠0ではa,bが決定できないということにして、a+b-4=0のときのみを考えればよいのですか?


そうです。a+b-4≠0と考えると矛盾がおこるということは、a+b-4≠0ではないということです。
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