行列についての問題です。

画像の問題で、以下のように解いたのですが、a+b-4≠0の場合が求まりません。
a+b-4≠0より、、a+b-4で割って、

A=kI　（k=(-a+ab-2)/(a+b-4)）

として与えられた式にAを代入してkを求めたのですが、そうすると、Aは対称行列になってしまいます。

これではa,bが決定できません。

この場合は、a+b-4≠0ではa,bが決定できないということにして、a+b-4＝0のときのみを考えればよいのですか？


わかいにくい文章かと思いますがよろしくお願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： info22 回答日時： 2009/05/21 23:38

ケーリー・ハミルトンの定理から

A^2-(a11+a12)A+(a11a22-a12a21)I=0

これと
A^2-5A-2I=0
を素直に比較すれば

a+(b+1)=5　→ a-3=1-b
a(b+1)-2ab=-2 → a(1-b)=-2

この2つの式を連立にして解けば
a(a-3)+2=a^2-3a+2=(a-1)(a-2)=0から
(解けると思いますので途中略)
(a,b)=(2,2),(1,3)
と出てきますよ。

No.5 回答者： noname#111804 回答日時： 2009/05/22 20:58

問題文中の式は

ケーリーハミルトン式と思われる。

No.4 回答者： Tacosan 回答日時： 2009/05/22 15:34

「ケーリー・ハミルトンの定理の逆が成り立たないこと」は, 例えば「A を n次単位行列とすると A-I=O だけど A の固有多項式は x-1 じゃない」というだけで終わり. 次数をそろえても A^n - I = O だけど固有多項式は x^n - 1 じゃないから結局は同じこと.

ただし「多項式 f(x) が f(A) = O を満たすなら f(x) は A の最小多項式で割り切れる」ことは正しい. したがって, 今の問題では
「A の最小多項式は x^2 - 5x - 2 かその 2つの因数のいずれか」
であることは言える. だから, 2つの因数がいずれも A の最小多項式ではないといってから #2 のように進める (あるいはその逆順) のは OK.

No.3 回答者： Mr_Holland 回答日時： 2009/05/21 23:46

＞この場合は、a+b-4≠0ではa,bが決定できないということにして、a+b-4＝0のときのみを考えればよいのですか？

　その通りです。

　a+b-4≠0のとき、左辺を零行列にするａ，ｂの組み合わせが存在しないので＜解なし＞ということになります。
　そのため、解はa+b-4＝0の場合から求めることになります。


　ところで、ケーリー・ハミルトンの定理は逆も真なのでしょうか。
　それが言えれば＃２さんの解法も成り立ちますが。

この回答への補足

回答ありがとうございます。

ケーリー・ハミルトンの定理は逆は一般的には成り立たないようです。
詳しい証明はまだ理解していませんが。

補足日時：2009/05/22 00:06

No.1 回答者： rabbit_cat 回答日時： 2009/05/21 23:32

＞この場合は、a+b-4≠0ではa,bが決定できないということにして、a+b-4＝0のときのみを考えればよいのですか？

そうです。a+b-4≠0と考えると矛盾がおこるということは、a+b-4≠0ではないということです。