mがm>0の値をとるとき、直線y=2mx+m^2-1....(1)の通り得る範囲を次の3通りの方法で求めよ。

(1)(1)をmの方程式と考える。
(2)yをmの関数と考える。
(3)mの値によらず直線(1)が一定の放物線に接することを用いる。

お手数をおかけしますがよろしくお願いします。
解説もつけていただければ幸いです。

A 回答 (2件)

(1)と(2)については、方針だけ示しておく。



>(1)(1)をmの方程式と考える。

mの方程式と考えれば、2次方程式だから、その方程式がm>0の解を少なくても1つ(従って、2つの場合もある)条件を考える。

>(2)yをmの関数と考える

mについて平方完成すれば、yはmの2次関数で下に凸。
従って、その時の最小値を考えると良い、-x>0と、-x≦0の場合の2通りある。

実際の計算は自分でやって。
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解法の(1)と(2)はありふれた方法だから、誰かが解説してくれるだろうから、(3)の方法だけ書いておく。



>(3)mの値によらず直線(1)が一定の放物線に接することを用いる

直線y=2mx+m^2-1....(1)はある放物線の“包絡線”と言われているものである。
下のURLを参考にして欲しい。

http://www.synapse.ne.jp/dozono/math/anime/envel …

mの方程式と考えると、mが実数から、判別式≧0.
これが、とりあえず m>0 を無視した時の直線(1)の通過領域である。
判別式=0から出る、y+x^2+1=0 ‥‥(2) と直線:y=2mx+m^2-1 ‥‥(1) を連立すると、(m+x)^2=0となり重解を持つから、(1)は(2)に接する。つまり、(1)は(2)の接線である。
そこで、m>0を考えると、放物線(2)の接線(2)がm>0の範囲で動き得る領域は、設問の(1)と(2)と同じ結果になる。

この回答への補足

わかりやすい解説誠にありがとうございます。
しかし当方(1)と(2)にものすごく悩んでいるのです。
解答を示していただけないでしょうか

補足日時:2009/05/23 19:31
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Q英語の偏差値を上げるには

こんにちは。高1女子です。
私の学校では、1年から河合模試を受けます。
国語は得意なので、第1回目の偏差値は73、2回目は76、と、それなりに良い成績を取れています。
しかし、英語は55程度しかありません。英語のせいで、国英の偏差値がとても低くなっていて悔しいです。
文系志望なので、英語の偏差値を上げたいです。
どうしたら英語の偏差値を上げることができるのでしょうか?
普段からの勉強法や、模試の対策など、教えていただけると嬉しいです。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

ズバリ答えます。

単語を覚えるよりも長文問題や文法を徹底的にこなす事が得策だと思います。あとは国立か私立志願かわかりませんが、英文解釈と英語構文を徹底的にする事がお勧めです。

単語を覚えたとしても無数にあるので、大学の受験問題を作るサイドで言えば

それよりも文法と構文が大切なんです!!英語の勉強で言えば骨格にあたるものなんです!骨格を太くすることで次は語法や語彙等を徹底的に覚える。これが英語の近道です。骨を太くする事が英語です。国語の場合は古典は暗記で済みますが、英語は暗記が出来ないのです!!

覚えた単語が試験に出る確率は低いのです。逆に文法問題や英文解釈問題、英作文問題が出やすいのです。

対策ですが、早い段階で予備校(できれば河合塾か駿台)、通信教育で言えばZ会、進研ゼミをするのがお勧め。英語で言えばZ会・河合出版・駿台文庫で文法問題や長文問題の本をじっくり解く事をお勧めします!!!

あと模試の偏差値もそうですが、どこが間違えたのかをじっくり見てくださいね。

Q直線 x=-3-2t、y=4+t ...(1) と直線 x=-3+3t, y=-7+4t....(2)

問題1
直線 x=-3-2t、y=4+t ...(1) と直線 x=-3+3t, y=-7+4t....(2)のグラフを書き、その交点を求めよ。

問題2
直線(1)、(2)のなす角をΘ(0°≦Θ≦90°)とするとき、CosΘを求めよ。

問題3
直線(1)と(2)について、それぞれの方向余弦のうち、xの値が正であるものを求めよ。

⇔問題1はとけましたけど、問題2と3がわかりませんでした。

まず問題1は、x=-3-2t=-3+3s y=4+t=-7+4sとしました。sと置き換えたのは=とした時にtの値が同じとは限らないので、
結果
2t+3s=0 t-4s=-11となり、
t=-3、s=2となりました。
交点は(x、y)=(3.1)となりました(答)

問題2は
(1)の方向ベクトルと(2)の方向ベクトルがどのようにしたら求めてよいのか解らないのでとけませんでした。 いままで学んだ内容だと、二点P1(-1,3),P2(2,-1)をとおる媒介変数tを表せという問題をといてきて、
単純にp1p2=(x-x1,y-y1) をやって方向ベクトルをもとめ、x=x1+tl,y=y1+tmの公式にしたがってx=-1+3t,y=3-4tと方向ベクトルを求めていたのですけど、
今回はx-x1にあたる部分が題意を読んで何処なのかわかりませんでした。

題意のx=-3-2t、y=4+t (1)と(2)の式からx1の部分をー3、y1の部分を4とみるのでしょうか?
そうすると、x-x1、y-y1のx1とy1の部分はわかるのですけど、xとyが解らないので、引き算ができず、方向ベクトルが求まりませんでした。

答えをみるとl→=(-2,1)(1) m→=(-3、-4)(2)となってました。どうやったらこのように求まるのでしょうか?

問題3は手が付けられませんでした>_<

だれかこの問題詳しく教えてください、宜しくおねがいします!!>_<

問題1
直線 x=-3-2t、y=4+t ...(1) と直線 x=-3+3t, y=-7+4t....(2)のグラフを書き、その交点を求めよ。

問題2
直線(1)、(2)のなす角をΘ(0°≦Θ≦90°)とするとき、CosΘを求めよ。

問題3
直線(1)と(2)について、それぞれの方向余弦のうち、xの値が正であるものを求めよ。

⇔問題1はとけましたけど、問題2と3がわかりませんでした。

まず問題1は、x=-3-2t=-3+3s y=4+t=-7+4sとしました。sと置き換えたのは=とした時にtの値が同じとは限...続きを読む

Aベストアンサー

宿題かも知れませんが、きちんと自分でお考えのようなので。

(2)です。

直線(1)は、(x,y)=(-3,4)+t(-2,1)
直線(2)は、(x,y)=(-3,-7)+t(3,4)

と書けます。ということは、

直線(1)は、点(-3,4)を通って、ベクトル(-2,1)に平行な直線
直線(2)は、点(-3,-7)を通って、ベクトル(3,4)に平行な直線

ということなので、2直線のなす角θは、2つのベクトル(-2,1),(3,4)[←これって、それぞれの直線の方向ベクトルです。]のなす角と同じか、又は、「180°-なす角」です。すると、内積を考えて、

cosθ=(-2*3+1*4)/√(4+1)・√(9+16)
=(-2)/(5√5)
=(-2√5)/25

となります。cosがマイナスなので、θは90°よりも大きいことが判ります。今、0≦θ≦90°なので、求めたい値は、

cos(180°-θ)
=-cosθ
=2√5/25

となります。

答の中で、(2)の方向ベクトルを(-3,-4)としているのは、最初から0≦θ≦90°を考慮しているためです。

宿題かも知れませんが、きちんと自分でお考えのようなので。

(2)です。

直線(1)は、(x,y)=(-3,4)+t(-2,1)
直線(2)は、(x,y)=(-3,-7)+t(3,4)

と書けます。ということは、

直線(1)は、点(-3,4)を通って、ベクトル(-2,1)に平行な直線
直線(2)は、点(-3,-7)を通って、ベクトル(3,4)に平行な直線

ということなので、2直線のなす角θは、2つのベクトル(-2,1),(3,4)[←これって、それぞれの直線の方向ベクトルです。]のなす角と同じか、又は、「180°-なす角」です。すると、内積を考えて、

cosθ=...続きを読む

Q「白黒二値」、英語は?

画像を白黒二値化しました。英語で説明をしなければならないのですが、画像の「白黒二値」、「白黒二値化」などの英語の表現法をお教えください。名詞形、動詞形などお教え頂けましたら助かります。よろしくお願いします。

Aベストアンサー

あっているのかどうかわからんが。
http://en.wikipedia.org/wiki/Grayscale
経由で以下の情報にたどり着いた。
http://en.wikipedia.org/wiki/Binary_image

Q¢直線y=mxが円(x-2)^2+(y-1)^2=1と2点で交わるとき

¢直線y=mxが円(x-2)^2+(y-1)^2=1と2点で交わるときのmの範囲として正しいものは,次のうちどれか?£

¢[解説] 直線の方程式を円の方程式に代入して整理すると、(1+m^2)x^2-2(2+m)x+4=0。この2次方程式が、異なる2つの実数解を持てばよいので、判別式をDとするとき、D/4=(2+m)^2-4(1+m^2)>0となる。これより、m(3m-4)<0 ゆえに0<m<4/3£

「判別式をDとするとき、D/4=(2+m)^2-4(1+m^2)>0となる。」が理解できません。説明をお願いします。

Aベストアンサー

#1です。

判別式を導出するのは、解の公式や 2次関数の問題を考える上でもポイントになります。

ax^2+ bx+ c= 0
この 2次方程式において、「平方完成」をさせます。
a(x^2+ b/a* x)+ c= 0
a{ x+ b/(2a) }^2+ c= b^2/(4a) (両辺に b^2/(4a)を加えて、平方完成させる)
{ x+ b/(2a) }^2+ c/a= b^2/(4a^2)
{ x+ b/(2a) }^2= (b^2- 4ac)/(4a^2)

この式を x=・・・の形に解き進めると「2次方程式の解の公式」になります。
x= { -b±√(b^2- 4ac) }/2a

この√の中が
・0より大きければ、実数解が 2つ
・0ならば、実数解は 1つ(重解)
・0より小さければ、実数解はなし

となって、b^2- 4acが「判別式」と呼ばれます。

「完全平方」を使って「解の公式」が導き出せれば、判別式も導き出せます。^^


点と直線の距離を使う方法もありますが、共有点を持つという条件からは同じです。
この解法も場合によっては簡単になる場合もあるので、押さえておいた方がいいですね。^^

#1です。

判別式を導出するのは、解の公式や 2次関数の問題を考える上でもポイントになります。

ax^2+ bx+ c= 0
この 2次方程式において、「平方完成」をさせます。
a(x^2+ b/a* x)+ c= 0
a{ x+ b/(2a) }^2+ c= b^2/(4a) (両辺に b^2/(4a)を加えて、平方完成させる)
{ x+ b/(2a) }^2+ c/a= b^2/(4a^2)
{ x+ b/(2a) }^2= (b^2- 4ac)/(4a^2)

この式を x=・・・の形に解き進めると「2次方程式の解の公式」になります。
x= { -b±√(b^2- 4ac) }/2a

この√の中が
・0より大きければ、実数解が 2つ
・0なら...続きを読む

Q英語で偏差値80を目指すには・・・

現在高2です。英語の偏差値(進研模試)で70前後なのですが、偏差値80あたりをとるにはどのような勉強をすればよいのでしょうか。国立の二次試験(後期)は英語だけなので、いまの偏差値だとぎりぎりです。

Aベストアンサー

偏差値70-80レベルになると大部分の問題は答えられるレベルであとほんの少しわからないものがある状態だと思います。

したがって,自分の苦手な問題は何か良く解析してその部分を徹底的に勉強するしかないと思います。

Aベストアンサー

>所で、今回の問題は
「また、この線形方程式についての結果は何を物語っているか?」
とも問われているのですが
その答えは「∩[i=1,..,m]Ker(yi)の補集合の直交補空間の元を表している」と答えれば正解でしょうか?

●「この線型方程式」とあるが、どこに線型方程式があるのか僕には分かりません。

●意味・意義の解釈は種々にできます。これこそ自分の頭で考えるべきことでしょう。

●あなた自身が指摘してくれた通り、Vはもともと内積は定義されてないのですから、直交補空間をもちだすのは不適切です。内積を用いない解釈を、まずは求められていると思います。
もしも「直交補空間」という概念を用いるなら、どういう内積を入れるのか、書かねばなりません。(僕が「修正」でそうしたように)

●しかしどんな内積を入れたとしても、「「∩[i=1,..,m]Ker(yi)の補集合の直交補空間」は、yiがすべてゼロ写像ならば、V。そうでなければ、{0}になります。(よく考えて見ましょう)

●僕ならば、「この結果は、残念ながら言葉を話せないので、何も物語ることができない」と答えます。
ほとんど自明な結果であり、大した意味があるとは思えませんので、皮肉として。

以上。あまり人にばかり聞かず、自分でよく勉強することを勧めます。
おそらく同じ学校のメンバーがよく問題を丸投げしているので、しばらく答えるのは控えようと思います。

>所で、今回の問題は
「また、この線形方程式についての結果は何を物語っているか?」
とも問われているのですが
その答えは「∩[i=1,..,m]Ker(yi)の補集合の直交補空間の元を表している」と答えれば正解でしょうか?

●「この線型方程式」とあるが、どこに線型方程式があるのか僕には分かりません。

●意味・意義の解釈は種々にできます。これこそ自分の頭で考えるべきことでしょう。

●あなた自身が指摘してくれた通り、Vはもともと内積は定義されてないのですから、直交補空間をもちだすのは不適切です...
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Q極大値・極小値 を英語で

解答でよく、
最大値をMax、最小値をMinと書くことがありますが、
極値も極大値Max、極小値Minと書いてもよいのでしょうか?

英語では同じですが
これがよいのだとすると
極値も最大値・最小値も求める問題のときに混乱してしまう気がします。

わかりやすく納得できる説明が欲しいです。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

私が採点するときに極大・極小のところを《Max・Min》を使ってたら、【ホントに理解してますか?】とコメントを入れます。
そして【人に見せる解答に略語を使うのは避けたほうがいいです。】とも書きます。
(特にこの場合、【Max,Min】は最大値・最小値に対して使うことが多いのです。)

私は《減点したくなる》のですが、実際減点するのは数学的ではないと思うので、もちろん解が当たってれば正解にします。
(かなり矛盾があるかもしれませんが)数学的に理解していればどう書こうが普通は許してくれると思います。
ただ、解答を書くときには、見せる対象の人が納得できるような形にすべきだと考えます。
だから略語を使うのは避けるべきなのです。

(ただ私が言った【Max ×】は当然意味はわかりますが、数学的に許されない行為だと思うのです。)

Qx1=(1,1,1),x2=(1,1,-1),x3=(1,-1,-1)をC^3の基底,{y1,y2,y3}がその双対基底でx=(0,1,0)の時,y1(x),y

[問] ベクトルx1=(1,1,1),x2=(1,1,-1),x3=(1,-1,-1)をC^3の基底とする。
{y1,y2,y3}がその双対基底でx=(0,1,0)の時、
y1(x),y2(x),y3(x)を求めよ。

という問題の解き方をお教え下さい。

双対基底とは
{f;fはF線形空間VからFへの線形写像}
という集合(これをV*と置く)において、
V(dimV=nとする)の一組基底を{v1,v2,…,vn}とすると
fi(vj)=δij(:クロネッカーのデルタ)で定めるV*の部分集合
{f1,f2,…,fn}はV*の基底となる。これを{v1,v2,…,vn}の双対基底と呼ぶ。

まず、
C^3の次元は6(C^3の基底は(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(i,0,0),(0,i,0),(0,0,i))
だと思うので上記のx1,x2,x3は基底として不足してると思うのです(もう3ベクトル必要?)。

うーん、どのようにしたらいいのでしょうか?

Aベストアンサー

>C^3の次元は6(

これが間違え.
「x1=(1,1,1),x2=(1,1,-1),x3=(1,-1,-1)をC^3の基底」
といってるんだから,係数体はRではなく,C.

あとは定義にしたがって,
dualな基底を書き下せばいいだけ.
y1(x1)=1,y1(x2)=y1(x3)=0であって
v=ax1+bx2+cx2と表わせるわけだし,
v=(v1,v2,v3)とすれば,a,b,cはv1,v2,v3で表現できる
#単なる基底変換の問題.

Q偏差値40英語・・・

私は本当に英語が出来ません。
というか、勉強の仕方がわかりません。

楽な方法じゃなくて良いので、英語が出来るようになる方法を教えて下さい。出来れば偏差値60の大学でトップのレベルになりたいです。

今は単語の覚え方も分からない、文法も分からない、短い文も読めないので長文なんて読めないってかんじです正直(笑)

何だか英語が不得意で、他の科目は偏差値65英語は40もいかないという感じです笑
原因は嫌いだからということもあるでしょうが、私が理系の頭なので、根本的に英語というものの勉強法が分かっていなくてだめなのかな?と思い質問させていただきました。

今高3です!

Aベストアンサー

おお、俺ガイル(笑)
つい先日、似たような質問をした者です。
私の場合、偏差値はあなたのより低い36でしたけど。
http://oshiete.goo.ne.jp/qa/8469327.html
以下は、あくまで「英会話ができるようになるためのお勧めの勉強法」であり、「受験で合格するためのお勧めの勉強法ではない」のですけど、それでもよろしければ。

私の場合、解決策としては「思い切って留学する」でした。

現実問題として留学するのが難しいのなら、
洋画を英語音声で観る。最初は字幕なしで。次には英語字幕付きの英語音声で。そして、その後は『観ない』。という勉強法がいいですかね。

NHKの教育番組(Eテレ)でやってる「プレキソ」という英語番組もいいですよ。
本来は子供向けの英語番組なんですが、日本語がまったく出てこないので、教材としては最適です。
英語ができない友人にまったくのボランティアで英会話の個人レッスンをしてるのですが、私は教材にこの番組を使っています。

とにかく、日本語が出ちゃダメなんです。日本語が出るとどうしても日本語に頼ってしまいます。脳が日本語の思考になってしまうので、英語での思考がいつまで経ってもできないんですよ。
英語で入ったものをそのまま英語で処理するんです。いちいち日本語に翻訳しない。そしていちいち辞書を引いて意味を確認しない。これが重要です。

人間は取り入れた情報を脳が処理しようとします。
食べ物だと食べやすい物を好むように、人間の脳は、処理しやすい情報を好んで処理しようとします。なので日本語が入ってくると、英語での情報を捨ててしまって日本語に頼りっぱなしになります。
なので(余談ですが)「スピードラーニング」。あれの効果については私は甚だ疑問に思いますね。英語の後で日本語の解説がつく。それが余計です。
全部英語の、解説は無し、の方がよっぽど効果があると思います。

また、最近では安価でスカイプを利用したインターネット英会話レッスンもあります。
そういうのを利用するのもいいのではないでしょうか。
私もまだ利用していませんが、近いうちに始めようかな?と思ってます。
私は「自分が英語を教わる代わりに、自分が日本語を教えるからレッスン代はタダ」ってサイトを利用しようか?と考えています。
http://www.e-kaiwa.net/

ああ、私が書いたのはあくまで「中3レベルぐらいの英語力はある」ということ前提です。
関係代名詞や受け身までは理解できた、というぐらいですね。
「I my me ってなんですか?」や、「be動詞ってなんですか?」レベルだと英語だけ聴いたとしても英語力の上達は見込めませんので、ラジオの基礎英語講座等を利用して、レベルの底上げをして下さい。

おお、俺ガイル(笑)
つい先日、似たような質問をした者です。
私の場合、偏差値はあなたのより低い36でしたけど。
http://oshiete.goo.ne.jp/qa/8469327.html
以下は、あくまで「英会話ができるようになるためのお勧めの勉強法」であり、「受験で合格するためのお勧めの勉強法ではない」のですけど、それでもよろしければ。

私の場合、解決策としては「思い切って留学する」でした。

現実問題として留学するのが難しいのなら、
洋画を英語音声で観る。最初は字幕なしで。次には英語字幕付きの英語音声で。そし...続きを読む

Q放物線 y=x^2-2x+2 をx軸方向に1、y軸方向に ? だけ平行移動して得られる放物線の頂点

放物線

y=x^2-2x+2
をx軸方向に1、y軸方向に ? だけ平行移動して得られる放物線の頂点は、直線y=3x上にある。
この問題の?の解き方がわかりません、教えてくださる方よろしくお願いします(^_)
?=5です

Aベストアンサー

y=x^2-2x+2
基本形に直します
y=(x-1)^2+1
頂点の座標が(1,1)というのが判ります。
x軸方向に1移動なので
y=(x-2)^2+α
頂点が直線y=3x上にあるので、
y=3×2=6なので、α=6になります。
放物線の基本形の式は
y=(x-2)^2+6
となり、最初の基本形の式
y=(x-1)^2+1
と比較すると、x軸方向に1、y軸方向に5、頂点が移動しているのが判ります。

放物線の式を基本形に直すコツを掴むのが、問題のコツですね。


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