x1 - x3 = 0
8x1 + x2 - 5x3 - x4 = 0
x2 + 4x3 - ax4 = 0
x1 - x2 - 3x3 + 2x4 = b
という連立1次方程式があり、
すべての解の集合が4次元実ベクトル空間の部分空間となるときのaとbの条件を求めよ
という問題があるんですが、
問題の意味がいまいちよく分からないのですが、
これはどのようにして解けばいいんでしょうか?
ベクトルについての理解が少し足りないので部分空間や解空間について調べてみてもいまいちよく分からないんです。

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A 回答 (7件)

 素直な練習問題だと思います。

方程式の係数行列の行列式をDとし、解の集合をXとすると、
● D≠0の場合にはフツーにひとつの解があるわけで、
 b≠0ならXは1個の解から成る集合。ただしその解が(0,0,0,0)でないことは確か。
 b=0のときは、X={(0,0,0,0)}
● D=0の場合
 b≠0のときは、X=φ (φは空集合のこと)。つまり解がない。
 b=0 のとき、解は無限個ある。u,v,wを互いに一次独立の0でないベクトル、r,s,tを任意の実数とするとき、Xが4次元実ベクトル空間中の
  1次元超平面つまり直線 {ru} になるか、
  2次元超平面 {ru+sv} になるか、
  3次元超平面 {ru+sv+tw} になるか、
  それとも全空間になるか、
 その区別は係数行列のrankで決まる。
と、ここまでは問題を一瞥しただけで分かります。
 なので、
> (1) a = b = 1のときに解は存在するか。存在すれば、その解を求めよ。
 できればa = b = 1を先に代入しないでa,bのまんま解くと、以下の問いも具体的に捉えられて分かりやすいんじゃないかな。解の分母はDに比例するから、D=0となる条件(aが幾らのときであるか)が分かる。
> (2) 解がx1 = x2 = x3 = x4 = 0 のみとなるaとbの条件を求めよ。
 D≠0, b=0のとき。
> (3) 解を持たないときのaとbの条件を求めよ。
 D=0, b≠0のとき。
> (4) 解が無限個存在するときのaとbの条件を求めよ。
 D=b=0のとき。
> (5) すべての解の集合が4次元実ベクトル空間の部分空間になるときのaとbの条件を求めよ。
 これは「部分空間」の定義を知らないとどうにもならない。実ベクトル空間の部分空間ってのは、実ベクトル空間Vの部分集合Wであって、任意のu,v∈Wと任意の実数kについて、u+vもkuもWの要素になってるWを言う。
 ってことは、解の集合Xが部分空間になるのは
D=b=0のときだけじゃなくて、
D≠0,b=0のとき(X={(0,0,0,0)})もそうだし、それから、
D=0,b≠0のとき(Xは空集合)も。確かに定義を満たしているでしょ。
 しかしD≠0, b≠0の場合には、Xは空集合ではなく、しかも(0,0,0,0)を含まないから、Xは部分空間になっていない。
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この回答へのお礼

なるほど。
非常に分かりやすかったです。
ありがとうございました!
rankがどうのこうのっていうより行列式が0かどうか
っていうほうが分かりやすくていいですね。
まあ言っていることは同じなんでしょうけど。

お礼日時:2009/05/24 23:44

>(全然勘定せずに書き込んでます。

あとはよろしく)

ヒマになり、童心にかえって消去法を試みました。

途中を省くと、
 {a/(a-1)}*x1 = b
a=0 なら b=0 で x1 は不定。
  x2 = {(4-3a)/(a-1)}*x1
  x3 = x1
  x4 = 3*x1 +x2
どうやら部分空間解は、
 | 1 |
 | -4 |
 | 1 | * x1
 | -1 |
らしい。

…ということは、スタート・ポイントにもどってしまった、ということなのでしょうか?
 
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>.......


>a = 0 かつ b = 0のときが答えになると思うのですが、
>これだと(5)の答えとかぶってしまうんじゃないかと。

当方も、最初そう思いこんでました。

a = 0 かつ b ≠ 0 を見逃してたのです。
(4) にてこのアファイン空間解を出し、b = 0 で部分空間、という筋書きなのでは?

(全然勘定せずに書き込んでます。あとはよろしく)
 
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>(4)はどうなるんでしょうか?



(4) の答案には、「部分空間(b=0)」と「アファイン空間(b≠0)」の両方があるのですか?
それとも?
 
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この回答へのお礼

(4)を解くときに
a = 0 かつ b = 0のとき
係数行列と拡大係数行列の階数が3で等しくなり、解が無限個存在する
としていて、
a ≠ 0 かつ b = 0
a ≠ 0 かつ b ≠ 0
のときは階数が4で等しくなると思うのですが、
こちらは階数が4で等しくなるため解は1つしか存在しないので
a = 0 かつ b = 0のときが答えになると思うのですが、
これだと(5)の答えとかぶってしまうんじゃないかと。
よくわからなくなってきました・・・

お礼日時:2009/05/23 23:58

>.......


>(4) 解が無限個存在するときのaとbの条件を求めよ。
>(5) すべての解の集合が4次元実ベクトル空間の部分空間になるときのaとbの条件を求めよ

あ、問題を誤解してました。
問題はおかしくありません。

・ b≠0 だと、解集合が部分空間にならない。(部分空間に随伴したアファイン空間になる)

…ので b = 0 として、係数行列の階数(rank)が 3 以下になるよう a を決めるのでしょうね。
 

この回答への補足

あれっ?
それが解が無限個ある状態だと思ってました・・・
それが(5)の答えだとすると(4)はどうなるんでしょうか?
何度も申し訳ないです。

補足日時:2009/05/23 23:04
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「係数行列と拡大係数行列のrankが等しければ解が存在する」わけですが、その解は部分空間じゃなくて、ワンポイントですね。



「この問題の前の小問で解が無限個存在するときのa,bの条件はすでに求めて」あれば、その解が部分空間になっているのでは?

…それにしては、問題の構成がおかしいような気もします。
はて、原題は?
 

この回答への補足

aとbを実定数とし、x1,x2,x3,x4を未知数とする連立1次方程式
x1 - x3 = 0
8x1 + x2 - 5x3 - x4 = 0
x2 + 4x3 - ax4 = 0
x1 - x2 - 3x3 + 2x4 = b
に関して以下の(1)~(5)に答えよ。
(1) a = b = 1のときに解は存在するか。存在すれば、その解を求めよ。
(2) 解がx1 = x2 = x3 = x4 = 0 のみとなるaとbの条件を求めよ。
(3) 解を持たないときのaとbの条件を求めよ。
(4) 解が無限個存在するときのaとbの条件を求めよ。
(5) すべての解の集合が4次元実ベクトル空間の部分空間になるときのaとbの条件を求めよ。

これが原題ですね。
問題がおかしいんでしょうか?

補足日時:2009/05/23 22:21
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与えられた4元の連立方程式に「解が存在するときのa, bの条件を求めよ。

」を難しい言葉で書いてあるだけです。

この回答への補足

解が存在するというのは解が無限に存在する場合も含むのでしょうか?
係数行列と拡大係数行列のrankが等しければ解が存在すると思うんですが、

この問題の前の小問で解が無限個存在するときのa,bの条件はすでに求めていて
この問題ではそのときの場合も含めたものを解答すればいいんですか?

補足日時:2009/05/23 21:45
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連立方程式の解き方がいまいちぱっとしません だいたいの連立方程式は右図のようにしますがこの問題のように勝手に足し合わしたりしていんでしょうか。

Aベストアンサー

肝心な数学の基礎が全く脱落しているようです。中学校一年の数学の教科書を取り出してしっかり復習しましょう。
・・・冗談でも嫌味でもなく、本当に大事なところが抜けてしまっている・・・深刻です。

小学校の算数から中学の数学になったときに計算が大きく変わりましたね。
1) 引き算は、その数の負数を加えること。
  負数とはその数に加えると0になる数
2) 割り算は、その数の逆数をかけ合わせること・
  逆数はその数にかけると1になる数
・・・この二つのことで、未知数であっても初めて計算が自由に扱えるようになった。
 小学校では、5個×3=15本だったし、3-2≠2-3、2÷3=3÷2だったのが、
       5(本)×3 = 3× 5 (本)、3+(-2)=(-2)+3、2×(1/3) = (1/3)×2
3) 両辺が=の関係である時、両辺に同じ処理をしても=の関係は変わらない。
 2x - 4 = 6  ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄★
すなわち
 2x + (-4) = 6
  両辺に 4を加えると
 2x + (-4) + 4 = 6 + 4
 2x = 10      結果であるテクニックとしての[移項]は知っている
  両辺に(1/2)をかける
 2x × (1/2) = 10 × (1/2)
  交換則で
 x × 2 ×(1/2) = 5
  x = 5

たったこれだけを中学一年で一年かけて徹底的に学んだはず・・・中学数学の半分はこれと言ってもよい。
底が抜けているので、いくら解き方を覚えても役には立たない。
 [移項]処理は、「両辺に同じ処理をしても=の関係は変わらない」ことの結果にしか過ぎない。その結果--解き方だけ覚えて、理数科でもっとも肝心な「理由」を身につけてこなかった---でしょ!!!

 だから連立方程式は、未知数を一つずつ消していくという「消去法」というテクニックしか身についていない。繰り返しますが、理科や数学は解き方をいくら覚えても、せいぜい、その時の試験しかパスしない。

例えば、
 a + b = 0
 b - a + c = 0
 a + c - 1 = 0
という式があったとします。どうやって解きますか?
掃き出し法で解いてみましょう。

1) まず、式を下記のように変形します。
  a + b   = 0  一番下の式を加え
 -a + b + c = 0
  a   + c = 1

 2a + b + c = 1 中の式を引く
 -a + b + c = 0
  a   + c = 1
★ 両辺が=の関係である時、両辺に同じ処理をしても=の関係は変わらない。
   ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄★
  ここはわかりますか>>>だってすべての式は=で結ばれている。

 3a     = 1 3で割る
 -a + b + c = 0
  a   + c = 1

  a     = 1/3
 -a + b + c = 0
  a   + c = 1  一番上の式を引く

  a     = 1/3
 -a + b + c = 0  一番上の式を加えて
      c = 2/3

  a     = 1/3
    b + c = 1/3 一番下の式を引く
      c = 2/3

  a     = 1/3
    b   = -1/3
      c = 2/3

 これは「掃き出し法」と言われる解き方で、連立方程式を解く一番たくさん使われている方法です。特にコンピューターで計算しやすいためにコンピュータで解くときは100%この方法です。

 下記に、これを

  1  1  0 = 0
 -1  1  1 = 0
  1  0  1 = 1

と書き直して、簡単にする方法を説明しています。

参考)これってどうやって解くんですか?? - 数学 | 教えて!goo( https://oshiete.goo.ne.jp/qa/9194001.html )

 何度も繰り返しますが、「解き方」を覚えて、それを使って解くのではなく、なぜその方法で解けるのかを理解するようにしましょう。そうすれば、見たことない問題でも解けようになる。公式忘れたって公式をその場で作ればよい。

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ranx さんの言うように、
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最後まで解かなくても、f(5) は、A,B,C,D を使って
出すことはできますね。

Q分数の連立方程式の解き方を教えてください。

分数の連立方程式の解き方を教えてください。
 a=4500000+60000/260000b
 b=4250000+30000/180000a

Aベストアンサー

[問題] は
 a = 4500000 + (60000/260000)b
 b = 4250000 + (30000/180000)a
なのですね。

ならば、
 a = 4500000 + (60000/260000)b   (1)
   ↓ 代入して、
 b = 4250000 + (30000/180000)a
  =4250000 + (30000/180000){4500000 + (60000/260000)b}
を、まず解くのでしょう。

b の項を左に集めれば、
 b - (30000/180000)(60000/260000)b = 4250000 + (30000/180000)4500000
 b(25/26) = 4250000 + 750000 = 5000000
 b = 200000*26 = 5200000   (2)

ここで (1) へ戻り、
 a = 4500000 + (60000/260000)*5200000
  = 4500000 + 60000*20
  = 4500000 + 1200000
  = 5700000

…かな?
検算してみて頂戴。。
  

[問題] は
 a = 4500000 + (60000/260000)b
 b = 4250000 + (30000/180000)a
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ならば、
 a = 4500000 + (60000/260000)b   (1)
   ↓ 代入して、
 b = 4250000 + (30000/180000)a
  =4250000 + (30000/180000){4500000 + (60000/260000)b}
を、まず解くのでしょう。

b の項を左に集めれば、
 b - (30000/180000)(60000/260000)b = 4250000 + (30000/180000)4500000
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Aベストアンサー

4次方程式(あるいはそれ以上の偶数次の方程式)で、係数の並びが

a*x^4 + b*x^3 + c*x^2 + b*x + a = 0 ‥ (1)

のような並びになっているもの(係数の並びから俗に回文的に
『シンブンシ方程式』とも呼ばれることも)ではいつもすることですが
中央の x の次数、つまり x^2 で全体を割ります。
そうすると (1) は

a*x^2 + b*x + c + b/x + a/x^2 = 0 ‥ (2)

のように変形できます。
ここで頭と尻尾を組み合わせるように (2) を並び替えます。

(a*x^2 + a/x^2) + (b*x + b/x) + c = 0
a(x^2 + 1/x^2) + b(x + 1/x) + c = 0 ‥ (3)

更に、一般に (x^2 + 1/x^2) = (x + 1/x)^2 - 2 が成り立ちますから
これを (3) に代入すれば

a(x + 1/x)^2 + b(x + 1/x) + c - 2 = 0 ‥ (4)

ここで t = x + 1/x を (4) に代入すれば、t に関する
2次方程式に変形できます。

----------------------------------------------------------------

実際の出題では、恐らく

4次方程式 x^4 - 4x^3 + 5x^2 -4x + 1 = 0 …(*) に於いて

(a) x + 1/x = t とするとき、(*) を t で表せ。
(b) t に関する2次方程式を解け。
(c) 4次方程式 (*) に於ける解をすべて求めよ。

となっていると思います。

上の変形を参考にやってみて下さい。

4次方程式(あるいはそれ以上の偶数次の方程式)で、係数の並びが

a*x^4 + b*x^3 + c*x^2 + b*x + a = 0 ‥ (1)

のような並びになっているもの(係数の並びから俗に回文的に
『シンブンシ方程式』とも呼ばれることも)ではいつもすることですが
中央の x の次数、つまり x^2 で全体を割ります。
そうすると (1) は

a*x^2 + b*x + c + b/x + a/x^2 = 0 ‥ (2)

のように変形できます。
ここで頭と尻尾を組み合わせるように (2) を並び替えます。

(a*x^2 + a/x^2) + (b*x + b/x) + c = 0
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x=1080、y=720です。

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線形です
(1)を
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x-2y+4z=0
x^2+y^2+z^2=1をもちいて
答えが+-の答えになりました
(2)では外せきが8,-6,-5となり
おおきさの5ルート5で割ると
+-の答えにはなりませんでした
どちらが正しいのでしょうか?

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外積からでてきた単位べクトルは、外積の定義から、ベクトルa、bに垂直ですよね。
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Q連立方程式の解き方

 0.8x-0.6y=6500
 
 0.4y-0.2x=1400

の連立方程式の解き方と途中式を教えて下さい。

Aベストアンサー

係数が小数のままだと計算を間違えやすいので、
両辺を10倍なり100倍なりすることにより桁を上げます。

0.8x-0.6y=6500
両辺を10倍すると
8x-6y=65000
両辺を2で割ります。
4x-3y=32500・・・※1

0.4y-0.2x=1400
両辺を10倍すると
4y-2x=14000
みやすいように項を入れ替えます。
-2x+4y=14000
両辺を2で割ります。
-x+2y=7000・・・※2

※1と※2の連立方程式となります。

ここでは加減法で解いてみます。
(※1)+4×(※2)
4x-3y=32500
-4x+8y=28000

5y=60500
y=12100

y=5500を※2に代入
-x+2*12100=7000
-x=-17200
x=17200

よってx=17200,y=12100・・・答え

別解)代入法で連立方程式を解く
※2よりx=2y-7000・・・※3
これを※1に代入
4(2y-7000)-3y=32500
8y-28000-3y=32500
5y=60500
y=12100
これを※3に代入すると
x=2*12100-7000=17200

係数が小数のままだと計算を間違えやすいので、
両辺を10倍なり100倍なりすることにより桁を上げます。

0.8x-0.6y=6500
両辺を10倍すると
8x-6y=65000
両辺を2で割ります。
4x-3y=32500・・・※1

0.4y-0.2x=1400
両辺を10倍すると
4y-2x=14000
みやすいように項を入れ替えます。
-2x+4y=14000
両辺を2で割ります。
-x+2y=7000・・・※2

※1と※2の連立方程式となります。

ここでは加減法で解いてみます。
(※1)+4×(※2)
4x-3y=32500
-4x+8y=28000

5y=60500
y=12100

y=5500を※2に代入
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①、② の様な整数の式になると思います。

3(2x+3y)=150ー5y ・・・①
9xー4(yー3)+12x=60 ・・・②

①を整理すると、6x+9y=150 ・・・③
②を整理すると、21x-4y=48 ・・・④

③、④ ここまでくれば、普通の連立方程式ですから
簡単に解けると思いますが。
 因みに、x=4,y=9 になると思いますが、計算は確認して下さいね。

Q指数に関するな問題で、(1)2(3x+2)-4(x)+2(x+1)-5=0  (2)2(x)+2(-x)<4分の17 の2問についてご教授ください。

(1)2(3x+2)-4(x)+2(x+1)-5=0  (2)2(x)+2(-x)<4分の17 の二つの問題について、答えをご教授ください。
(1)は「次の方程式を解け」 (2)は「次の不等式を解け」となっております。
( )は指数になります、うまく表示をさせることができず申し訳ありません。
手元には解説と答えのどちらもないので、簡単な過程式も付けて頂けると大変助かります。
ご教授頂ける方是非よろしくお願い致します。

Aベストアンサー

>( )は指数になります、うまく表示をさせることができず申し訳ありません。
指数という意味で以下のように表記します。
(1) 2^(3x+2)-4^x+2^(x+1)-5=0
2^x=yとおくと
2^(3x)=(2^x)^3=y^3
2^(3x+2)=2^(3x)×2^2=4y^3
4^x=2^(2x)=(2^x)^2=y^2
2^(x+1)=2^x×2=2y
従って(1)は
4y^3-y^2+2y-5=0
これはy-1と2次式に因数分解できて
(y-1)(4y^2+3y+5)=0
2^x=yであるのでxを実数とするとy>0
4y^2+3y+5=0は実数解を持たない。
よってy=1に対応するx=0が答え。
(2)2^x+2^(-x)<17/4
y=2^xとおくと
y+1/y<17/4
y=2^xよりy>0であるので
y^2-17/4y+1<0
4y^2-17y+4<0
因数分解して
(4y-1)(y-4)<0
1/4<y<4
xに戻して
-2<x<2


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