ジメジメする梅雨のお悩み、一挙解決! >>

微分の勉強をしていて、不定形という言葉がでてきました。
意味がよくわかりません。
0÷0=0ではだめなのでしょうか?∞/∞は不定形ですか?
不定形の定義と、不定形の式の見分け方について教えてください。
お願いします。

A 回答 (1件)

0 ÷ 0 = 0 はかなり危険な考え方だと思います。


ざっくり言ってしまえば、
lim x / x というのは、分子分母両方とも、0 へ限りなく近づく(x = 0 ではない。)
x→0
なので、0.0001 / 0.0001 = 1 だし、
0.00000000001 / 0.00000000001 = 1 なのです。
逆に、
lim x / x も 100000 / 100000 = 1
x→∞
説明するときりがないので、URL参照

参考URL:http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/kou3/lim102.htm
    • good
    • 0

お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!

このQ&Aを見た人はこんなQ&Aも見ています

このQ&Aを見た人が検索しているワード

このQ&Aと関連する良く見られている質問

Q極限値と不定形

こんにちは。高校数学2の極限に関する質問です。

参考書の問題です。
Q:次の等式が成り立つように、定数a,bの値を求めよ。
  lim{(x^2+ax+b)/(x-2)} =5
  x→2

A:x→2のとき 分母→0
  極限をもつためには、分子→0でなければならない。
  …

  この問題は4+2a+b=0とし、b=-2aー4と仮定し、
  lim{(x^2+ax+b)/(x-2)} =lim(x+a+2)=5
   x→2              x→2

 とし、2+a+2=5とし、a=1、b=-6 を求めます。

ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
x→2のとき 分母→0
  極限をもつためには、分子→0でなければならない。

 ここで質問ですが、↑不定形の問題ということですがなぜでしょう(?) よろしくお願いします。

Aベストアンサー

関数f(x),g(x)について
lim (f(x)/g(x))=b, lim g(x)=0ならば、
x→a x→a

lim f(x)=lim {(f(x)/g(x))・g(x)}=lim (f(x)/g(x))・lim g(x)
=b・0=0 (x→a)

Q四次元というのはどんな世界ですか?

そもそも我々の住んでいる世界は三次元ですか、四次元ですか?
三次元の世界とは縦横高さのある空間の世界だと思います。
これに時間の概念を足せば四次元になるのでしょうか?
我々の世界にも時間があるので、四次元といってもいいのでしょうか?
それとも四次元とは時間とは無関係の世界なのでしょうか?
あるいは時間と空間を自由に行き来できるのが四次元なのでしょうか?

よろしくお願いします。

Aベストアンサー

>そもそも我々の住んでいる世界は三次元ですか、四次元ですか?

4次元であると考えると都合がいいというのが
現段階の結論です。

 100年ほど前、スイスのチューリッヒ工科大学
のミンコフスキー教授が物理学的な4次元の理論というのを
考えました。物理的な計算をするのに、縦、横、高さ
方向以外にもう1つ方向があるとして計算すると
うまく計算できることがあるというもので、
彼の教え子の一人が、4次元時空の理論と
して有名な相対性理論を完成させた、アルバート・
アインシュタインでした。
 彼は、リーマンという数学者が作った、
曲がった空間の幾何学(現在リーマン
幾何学と呼ばれています)を使い、4次元の
空間が歪むという状態と、重力や光の運動を
あわせて説明したんです。これが相対性理論。

>これに時間の概念を足せば四次元になるのでしょうか?

 物理学的にはそうです。

 相対性理論の話に関連付けて説明するとこんな感じです。
例えば、下敷きの板のような平面的なもの(数学的には
これを2次元空間と言ったりします)を曲げると
いう動作を考えてみて下さい。下敷きに絵が書いて
あったとして、曲げながらそれを真上から見て
いると、絵は歪んで見えます。平面的に見て
いても下敷きという2次元空間が歪んでいる
ことが感じ取れます。
 2次元的(縦と横しかない)な存在である下敷きが
歪むには、それ以外の方向(この場合だと高さ方向
ですが)が必要です。

 19世紀に、電気や磁気の研究をしていた学者たちが、
今は小学校でもやる砂鉄の実験(紙の上に砂鉄をばら撒いて
下から磁石をあてると、砂鉄が模様を描くというやつです)
を電磁石でやっていたときに、これは空間の歪みが
原因ではないかと直感したんです。
 電磁石の強さを変えると、砂鉄の模様が変化します。
これを砂鉄が動いたと考えず、砂鉄が存在して
いる空間の歪みが変化したのでは?と考えたんです。

 3次元の空間がもう1つ別な方向に曲がる。
その方向とは時間という方向だということを
証明したのが、相対性理論だったんです。


>あるいは時間と空間を自由に行き来できるのが四次元なのでしょうか?

 4つ目の方向である時間は、存在していても
その方向に、人間が自由には移動する方法は
現在ありません。時間方向を自由に動ける機械と
いうのは、タイムマシーンのことなんですが。

 日常生活を考えてみたとき、縦、横といった
方向は割りと自由に動けます。1時間ちょっと
歩けば4kmくらい楽に移動できますが、
道路の真中で、ここから高さ方向に
4km移動しろと言われたら、人力だけでは
まず無理でしょう。
 飛行機やロケットといった道具が必要と
なります。
 時間方向というのは、このように存在していても
現在のところ自由に移動できない方向なんです。

 例えば、人間がエレベーターの床のような
平面的な世界に生きているとしましょう。

 この場合、高さ方向を時間と考えて下さい。

 エレベーターは勝手に下降しているんです。
この状態が、人間の運動と関係なく、時間が
経過していく仕組みです。

 人間もほんの少し、ジャンプして高さ
方向の移動に変化をつけることができます。

 同様に時間もほんの少しなら変化をつける
ことができます。

 エレベーターの中で、ジャンプすると
ほんの少し下降を遅らせることができる
ように、時間もほんの少し遅らせることは
できるんです。




 

>そもそも我々の住んでいる世界は三次元ですか、四次元ですか?

4次元であると考えると都合がいいというのが
現段階の結論です。

 100年ほど前、スイスのチューリッヒ工科大学
のミンコフスキー教授が物理学的な4次元の理論というのを
考えました。物理的な計算をするのに、縦、横、高さ
方向以外にもう1つ方向があるとして計算すると
うまく計算できることがあるというもので、
彼の教え子の一人が、4次元時空の理論と
して有名な相対性理論を完成させた、アルバート・
アインシュタイン...続きを読む

Q1÷0の答えを教えて下さい

子供に1÷0はいくつと聞かれゼロでしょと答えたら
姪っこに無限大だと言われました。
確かに小さい数で割れば答えは大きくなるのでゼロで
割れば無限に大きな数となるのかも知れないのですが
自分のあやふやな記憶ではゼロで割ったらゼロになると
教えられたような・・・。
検索してみたのですが難しい理論がずらずら並びいったい
正解はなんなのか良くわかりません。
「計算不能」なのか「無限大」なのか「ゼロ」なのか。
どなたか教えて下さい。

Aベストアンサー

「0で割る」ことについて書かれているサイトを紹介しますね。
そのサイトによると、
----------------------------------------
数学では「0 で割る計算は除外して考える」ことになってます.
つまり、
「0 で割る計算は定義しない」
のです.
----------------------------------------
とあります。

私は、高校で数学を学んだのですが、
分数で、分子が0を除く数(正確には実数)で、分母を限り無く0に近付けたとき、その分数は「無限大へ向う」(正確には「無限大に発散する」)と教わりました。
※分子とは、分数の上にのっかってる数
 分母とは、分数の下にある数 

これは、高校で習う「数学?の極限」という分野で出てくるお話です。

分数において、「分母を0にした場合の値は定義されてない」であり、また、「分数を限り無く0に近付けた時に、どんな値になるかというのは、考えることができる」ということなんです。

何かのお役に立てれば幸いです。

参考URL:http://www.uja.jp/contents/math/divbyzero.html

「0で割る」ことについて書かれているサイトを紹介しますね。
そのサイトによると、
----------------------------------------
数学では「0 で割る計算は除外して考える」ことになってます.
つまり、
「0 で割る計算は定義しない」
のです.
----------------------------------------
とあります。

私は、高校で数学を学んだのですが、
分数で、分子が0を除く数(正確には実数)で、分母を限り無く0に近付けたとき、その分数は「無限大へ向う」(正確には「無限大に発散する」)と教わりました...続きを読む

Q積分で1/x^2 はどうなるのでしょうか?

Sは積分の前につけるものです
S dx =x
S x dx=1/2x^2
S 1/x dx=loglxl
まではわかったのですが
S 1/x^2 dx
は一体どうなるのでしょうか??

Aベストアンサー

まず、全部 積分定数Cが抜けています。また、積分の前につけるものは “インテグラル”と呼び、そう書いて変換すれば出ます ∫

積分の定義というか微分の定義というかに戻って欲しいんですが
∫f(x)dx=F(x)の時、
(d/dx)F(x)=f(x)です。

また、微分で
(d/dx)x^a=a*x^(a-1)になります …高校数学の数3で習うかと
よって、
∫x^(a-1)dx=(1/a)*x^a+C
→∫x^adx={1/(a+1)}*x^(a+1)+C
となります。

つまり、
∫1/x^2 dx=∫x^(-2)dx
={1/(-2+1)}*x^(-2+1)+C
=-x^(-1)+C
=-1/x+C

です。

Qe^xを微分するとe^xになる理由

大学1年のものです。

(e^x)'=e^xの証明がわかりません。
高校で習ったような気もしますが、習ってないような気もします。

ここの過去の質問も見させてもらったところ、2つほど見つけたのですが、

1)
y=e^x
logy=x
(1/y)y'=1
よって  y'=y=e^x



2)  e^xを無限級数に直して微分



1)の場合d(logx)/dx=1/x…(*)を利用していますが、(*)は(e^x)'=e^xを利用せずに証明できるのでしょうか?

2)の場合、e^xを無限級数に直すためには、テーラー展開をしないとダメなような気がするのですが、テーラー展開をするときに(e^x)'=e^xを利用しなければならないような気がします。



1)、2)とも(e^x)'=e^xの証明に(e^x)'=e^xを利用しているとすればこれらは意味を成さないような気がするのですが…


微分の定義に沿って証明しようともしましたが、

(e^x)'=lim{h→0}(e^x((e^h)-1)/h)

となり、ここで行き詰ってしまいました。



(e^x)'=e^xはなぜ成り立つのでしょうか?
よろしくお願いします。

大学1年のものです。

(e^x)'=e^xの証明がわかりません。
高校で習ったような気もしますが、習ってないような気もします。

ここの過去の質問も見させてもらったところ、2つほど見つけたのですが、

1)
y=e^x
logy=x
(1/y)y'=1
よって  y'=y=e^x



2)  e^xを無限級数に直して微分



1)の場合d(logx)/dx=1/x…(*)を利用していますが、(*)は(e^x)'=e^xを利用せずに証明できるのでしょうか?

2)の場合、e^xを無限級数に直すためには、テーラー展開をしないとダメなよ...続きを読む

Aベストアンサー

orangeapple55さんのおっしゃるとおり、「一般的には」1)も2)も(e^x)'=e^xを用います。
従って1)にも2)にも頼らず、定義によって微分することにしましょう。

(e^x)'
=lim[h→0](e^x((e^h)-1)/h)
=e^xlim[h→0]{((e^h)-1)/h}

となるので、結局問題は
lim[h→0]{((e^h)-1)/h}……(*)
の収束性に帰着します。

そこで、この極限について考察してみましょう。以下、適宜e^xをexp(x)と表現します。

まず、h>0のときについて考えましょう。
このとき、exp(h)>1ですから実数t>0を用いて
exp(h)=1+1/t……(1)
と表すことができます。

指数関数は連続ですから、
lim[h→0]exp(h)=1
ゆえに
lim[h→0]t=∞
つまり、
h→0のときt→∞……(2)
が成り立ちます。

また、h=log(exp(h))を利用すると、(1)よりh=log(1+1/t)……(3)
ですから、(1)、(2)、(3)より、(*)はtを用いて
(*)=lim[t→∞]1/{tlog(1+1/t)}=lim[t→∞]1/log{(1+1/t)^t}
と書き直すことができます。

さて、対数関数も連続ですから、
lim[h→0]log{(1+1/t)^t}=log{lim[h→0]{(1+1/t)^t}}です。
そこで、lim[h→0]{(1+1/t)^t}に注目しましょう。

nを自然数とします。そうすれば、二項定理を用いて
(1+1/n)^n
=1 + nC1*(1/n) + nC2*(1/n)^2 + …… + (1/n)^n
=1 + 1 + (1-1/n)/2! + (1-1/n)(1-2/n)/3! + …… + (1-1/n)(1-2/n)……(1-(n-1)/n)/n!……(4)
と展開できます。

(1+1/(n+1))^(n+1)
を同じように展開すると、(1+1/n)^nに比べて
イ:項数が増え
ロ:個々の項が増大する
ことが容易に確認できますから、(1+1/n)^nはnが増すと単調増加します。
しかも、(4)より、

(1+1/n)^n
<1 + 1/1! + 1/2! + …… 1/n!
<1 + 1 + 1/2 + 1/2^2 + …… + 1/2^(n-1)
<1 + (1-(1/2)^n)/1-1/2
<3

ですから、(1+1/n)^nは上に有界(どんなnをとってきても(1+1/n)^n<MとなるMが存在する。今の場合例えばM=3)です。

ここで公理を使います。
「上に有界かつ単調増加な数列は収束する」
これは実数の連続性を認めないと出てこない公理なのですが、今はとりあえず認めることにしましょう。そうすると、

「(1+1/n)^nは3以下のある値に収束する」

ことが分かります。これを私たちはeと定義したのでした。
以下、証明は省きますが、xを実数としても、(1+1/x)^xはやはりx→∞でeに収束することは容易に類推できると思います。
(証明が気になるなら図書館で解析に関する本を探してみてください。おそらく載っていると思います)

さて、このeを底にとった対数関数を自然対数logと決めたのですから、結局のところ
log{lim[h→0]{(1+1/t)^t}}=log(e)=1
が出ます。よって、(*)=1、つまり、(e^x)'=e^xを示すことができました。h<0についても同様です。

適当なことを言いたくなかったので、長くなってしまいました。すいません。
整理すると、
(1)(1+1/x)^xはx→∞で2.71ぐらいに収束する(収束値をeと名付ける)
これが一番最初にあります。これを用いて、
(2)e^xを指数関数とする
(3)logxをその逆関数とする
これが定義されます。この順番を理解していないと、おかしな循環論法に陥ります。

(注:冒頭で「一般的には」と書いたように、これと違った定義の仕方もあります。
たとえばe^x=1+x/1+x^2/2!+……と先に指数関数を定義してしまう方法。
これらに関しても、順番に注意すれば循環論法に陥らずに公理のみから件の命題を証明することができるでしょう)

最後に、僕は以上でいくつか仮定をしています。
対数関数が連続であること。指数関数が連続であること。
実数の連続性。(1+1/x)^xはxが実数であってもx→∞でeに収束すること。
これらの証明(あるいは公理の必然性)をあたってみることは決して無駄ではないと思います。

orangeapple55さんのおっしゃるとおり、「一般的には」1)も2)も(e^x)'=e^xを用います。
従って1)にも2)にも頼らず、定義によって微分することにしましょう。

(e^x)'
=lim[h→0](e^x((e^h)-1)/h)
=e^xlim[h→0]{((e^h)-1)/h}

となるので、結局問題は
lim[h→0]{((e^h)-1)/h}……(*)
の収束性に帰着します。

そこで、この極限について考察してみましょう。以下、適宜e^xをexp(x)と表現します。

まず、h>0のときについて考えましょう。
このとき、exp(h)>1ですから実数t>0を用いて
exp(h)=1+...続きを読む

Q二酸化硫黄と硫化水素の酸化還元反応式

タイトルのとおりなのですが、二酸化硫黄と硫化水素の酸化還元反応式が
どういうふうになるのかおしえてほしいのです。
硫化水素 H2S→2H+ + S + 2e-
二酸化硫黄 SO2 + 4H+ + 4e- → S + 2H2O
ということまではたぶんあっているとおもうのですが・・・
このあとどうやっていけば酸化還元反応式ができあがるのかが。。。
教えて下さい

Aベストアンサー

そこまでわかっているのなら、後は
e-が消えるように2つの式を足し合わせるだけです。
最初の式を2倍して、2番目の式と足せば、
2H2S + SO2 + 4H+ + 4e- → 4H+ + 2S + 4e- + S + 2H2O
両辺から同じものを消して
2H2S + SO2 → 3S + 2H2O
となります。

Q定数って?実数・定数の使い分けって?

こちら現在高校生です。
学校で整数、有理数の定義などはやりました。
ですが、定数の定義・意味・特徴がわかりません。
自分の中では定数=定まる数 つまりk:定数ならkは1個に定まるなどと勝手に考えています。このように、定数の性質・特徴たるものもわかりません。

あと、よく例題を見てみると「(k:定数)」や「(k:実数)」などと書いてありますがこの定数、実数の使い分けはどのようにするのでしょうか。

少々わかりづらい質問ですが、ご回答お願いします。

Aベストアンサー

「定数」は「どんな数でも良いがある値を持っていて"変化しない"数」です。
>「(k:定数)」
この場合kはどんな数でも良いが変化しない一定の値。
>「(k:実数)」
この場合、条件にkは実数であって虚数を含まない(複素数でない)数で値は一定。

Q浪人で四谷学院か河合塾どちらが良いですか?

18歳 男性です。大阪在住。
浪人が決まって、予備校に行くことになったのですが、四谷学院か河合塾ま迷っています。
僕の偏差値は45ぐらいで、現役の時は龍谷大学を目指していました。
今年は浪人するわけですから、国立の岡山大学か広島大学を目指して頑張ろうと思っています。
駄目でも良いので、一年間全力でやり抜きたいと思っています。
やらないで後悔したくありません。

そこで河合塾か四谷学院どちらが良いですか?

今の僕の両塾の感想は
【河合塾】
・しっかりついて行くことができれば、成績をのばせそう。
・実績があり、バックアップが良さそう。
・国公立コースなので、授業の内容がしっかりやってもついて行くことができるのか不安。
・テキストの質は良いと思う。
・夏の合宿や日曜対策講座などがなく、一定のペースで一週間勉強できる。
・国公立コースでも日曜は必ず休み。

【四谷学院】
・授業についていけないことにはならないと思う。
・個別指導もあるので自分の補強必要部分がわかりやすいと思う。
・あまり良い評判を聞かない。
・55段階個別指導で入試に間に合うのか疑問。
・夏の合宿や秋からは日曜対策講座もあり、日程が変則的でペースが乱れそう。
・日曜も講座があれば休みが1日もない。
・受験生でも週1日は休みが必要で、気分転換や次の一週間に向けての準備が必要だと思う。

もちろん、どちらに入ったとしても、全力でやります。
実際にどちらも説明にも見学にも行っていませんが、資料はしっかり見ました。
どちらの予備校が良いですか?
予備校経験のある方、詳しい方は特にお願いします。

18歳 男性です。大阪在住。
浪人が決まって、予備校に行くことになったのですが、四谷学院か河合塾ま迷っています。
僕の偏差値は45ぐらいで、現役の時は龍谷大学を目指していました。
今年は浪人するわけですから、国立の岡山大学か広島大学を目指して頑張ろうと思っています。
駄目でも良いので、一年間全力でやり抜きたいと思っています。
やらないで後悔したくありません。

そこで河合塾か四谷学院どちらが良いですか?

今の僕の両塾の感想は
【河合塾】
・しっかりついて行くことができれば、成績をのばせ...続きを読む

Aベストアンサー

四谷学院のOBです。他で(河合ではありませんが)学費が○%引きの特待で在籍もしていました。

 たしかに大手の予備校の講師は受講して「凄い」と感じますが、それを自分の学力に反映できるかと言われれば疑問です。「聞いて理解できる」と「その内容を問題を解く時に使える」は別物なんです。また大手予備校の人気講師は難関大学の講座が中心で、中堅大学の講座にはあまりいません。いたとしても単科講座といって、年間60万等の学費は別にかかる講座を取らないといけません。

 大手予備校の場合、サボっていても何も言われません。四谷の場合は、55段階の時は雰囲気的にサボりにくく、結局勉強する環境になります(集団授業でもあてられることがあるので、勉強する環境になりやすいです)。特に55段階は、「自分で分かっているつもり」の箇所を徹底的に突っ込まれ、基礎が分からず、勿体ない失点を教えてくれます。
 大手は「多くの人数に良質な授業をし、その中から生き残った人間が合格」していく構造です。そのため、大手予備校のCMは環境より合格者の数字を前面に押し出しています。あれは「数字がいい=いい環境と思う=いい人材が集まりやすい」だけであり、その連鎖で数字が出ているだけです。成績がイマイチな人は予備校からすれば「数字(宣伝材料)にならないが貴重な利益貢献者」となります。その証拠に大手予備校では名門進学高校の生徒の授業料は無料が多く、普通の高校からはしっかりお金を取っています。生徒には合格の数字かお金の数字を出すようになっています。そのため、費用と授業の質を考えると(先に挙げた名門講師は難関大対策にしかいないことも考えると)優秀な受験生は非常に割安いで、そうでない生徒は(優秀な人の費用も負担していることになるので)非常に割高です。ちなみに四谷学院は解く体制度は一切ないと思います(私の時はなく、今もないでしょう)。

 あなたの目指すレベルであれば自分でしっかりやっても到達できますが、大手の場合は実績にほとんど関係ない大学なので、予備校としてのフォローも期待できません。特に大手は年間費用を一気に先に払うので、フォロー等のクレームでやめられてもお金の損失がないからです。大手予備校のテキストは情報に無駄がないものですが、白黒の(私には)使いにくいものでした。四谷は市販の参考書のようなカラフルな教科書・参考書です。

 ちなみに55段階の到達ですが、これは心配ありません。55段階全部終わらないと意味がないものではなく、最初の30~40%で出題範囲の内容は終わります。それ以降の級・段は演習形式になっており、残りの30%は早以上の人だけに必要なもので、全部終わったら「どこでも大丈夫」というカリキュラムです。私自身、英語・国語は終わらなかったものもあります。ちなみに、1時間でやれるだけやっていいので、初めのころは1時間で5級くらい進みます(秋以降は2~3級程度が多いです)。55段階の一番の目的は、範囲を網羅することと、自分が勉強したことを可視化でき、やる気が出る点です。授業を受けっぱなしの予備校だと感じにくい部分です(それを感じなくても自発的にやれる人には効果はありませんが)。
 ちなみに日曜講座や合宿に私は一切参加していません。夏季・冬季の講習はそこそこ取りましたが、通常の時期と同じかそれより少ない授業数で十分です。

 ちなみに、四谷は3月中に申し込むとその時点で55段階の指導を受けられます(今やっているかは確認してみてください、私の時はそうでした)。私は4月から通ったのでできませんでしたが、既にハンコをもらっている人がいて、「しまった」と後悔しました。評判に関しては、正直集団授業の講師の質は大手に及びません。ただ、四谷はそれ以上に学習システムがしっかりしていると思います。

四谷学院のOBです。他で(河合ではありませんが)学費が○%引きの特待で在籍もしていました。

 たしかに大手の予備校の講師は受講して「凄い」と感じますが、それを自分の学力に反映できるかと言われれば疑問です。「聞いて理解できる」と「その内容を問題を解く時に使える」は別物なんです。また大手予備校の人気講師は難関大学の講座が中心で、中堅大学の講座にはあまりいません。いたとしても単科講座といって、年間60万等の学費は別にかかる講座を取らないといけません。

 大手予備校の場合、サボっていて...続きを読む


おすすめ情報