かなりの難問

cos2/7Π＋cos4/7Π＋cos6/7Π
の値を求めよ
という問題です。
分母に７がきているところで
頭が混乱しています
どなたか解説をお願いします
ちなみに答えは－1/2と本には
書いてあります

よろしくお願いします。

No.8 回答者： staratras 回答日時： 2009/06/04 21:09

No.7です。

回答の4行めに一箇所訂正があります。

（誤）＞Ｘ軸上の点（1,0）をＰ1とし、円周上に時計回りにＰ2からＰ7までとります。
（正）＞Ｘ軸上の点（1,0）をＰ1とし、円周上に反時計回りにＰ2からＰ7までとります。

失礼致しました。

No.7 回答者： staratras 回答日時： 2009/06/04 20:00

この問題は図形的（ベクトル的）に考えた方がわかり易いと思います。

座標軸の原点を中心とする単位円（半径1の円）を考えます。
この円周上の点を７等分して正七角形を作ります。
Ｘ軸上の点（1,0）をＰ1とし、円周上に時計回りにＰ2からＰ7までとります。

正七角形の各頂点の座標は、Ｐ1(1,0)　のほか図の対称性から明らかに
Ｐ2（cos(2π/7),sin(2π/7))、 Ｐ3(cos(4π/7),sin(4π/7)）、Ｐ4(cos(6π/7),sin(6π/7)）
Ｐ5（cos(6π/7),-sin(6π/7))、 Ｐ6(cos(4π/7),-sin(4π/7)）、Ｐ7(cos(2π/7),-sin(2π/7)）、

ここで原点ＯからＰ1、ＯからＰ2…、ＯからＰ6、ＯからＰ7までのベクトルの和を考えるとゼロベクトルです。（図で考えるとＯＰ1を最初の1辺とする辺の長さ１の正七角形の周上を一回りして元の原点に戻ります）

このうちＸ成分に着目すれば
１＋cos(2π/7)＋cos(4π/7)＋cos(6π/7)＋cos(6π/7)＋cos(4π/7)＋cos(2π/7)＝０
１＋２（cos(2π/7)＋cos(4π/7)＋cos(6π/7)）＝０

したがってcos(2π/7)＋cos(4π/7)＋cos(6π/7)＝－1/2

No.6 回答者： noname#86294 回答日時： 2009/06/04 15:01

cos{(2/7)π}＋cos{(4/7)π}＋cos{(6/7)π}

=cos{(1/7)2π}＋cos{(2/7)2π}＋cos{(3/7)2π}
=(1/2)・Σ[k=1～6]cos{(k/7)2π}=(1/2)・Σ[k=1～6]e^{i・(k/7)2π}

なぜなら、　cos{(k/7)2π}　は、e^{i・(k/7)2π}　の実部であり、
e^{i・(k/7)2π}=1・e^{i・(k/7)2π}=e^(-i・2π)・e^{i・(k/7)2π}
=e^[-{i・(7-k)/7}・2π]　とも表わすことができ、
k=1　に対して　k=6　が
k=2　に対して　k=5　が
k=3　に対して　k=4　が
それぞれ対応し、それらが互いに複素共役の関係にあり
e^{i・(k/7)2π}+e^[-{i・(7-k)/7}・2π]=2・cos{(k/7)2π}
となるためである。

r=e^{i・(1/7)2π}　とすると
Σ[k=1～6]e^{i・(k/7)2π}=r(1-r^6)/(1-r)=(r-r^7)/(1-r)　であり、
r^7=e^(i・2π)=1　であるから
Σ[k=1～6]e^{i・(k/7)2π}=-1　となる。

∴　(1/2)・Σ[k=1～6]e^{i・(k/7)2π}=-1/2

つまり、
cos{(2/7)π}＋cos{(4/7)π}＋cos{(6/7)π}=-1/2

No.5 回答者： mister_moonlight 回答日時： 2009/06/04 09:44

回答を纏めておこう。

cos（θ）＝tとすると、cos（3θ）＝4{cos（θ）}＾3-3*cos（θ）＝4t＾3-3t。
cos（4θ）＝2{cos（2θ）}＾2-1＝2{2t＾2-1}＾2-1＝8t＾4-8t＾2＋1.
よって、4t＾3-3t＝8t＾4-8t＾2＋1　であるから、（t-1）*（8t＾3＋4t＾2-4t-1）＝0.
明らかに、t-1≠0より、8t＾3＋4t＾2-4t＝1.‥‥(1)

Ｐ＝{cos（2θ）}*{（2cos（θ）＋1）}＝（2t＾2-1）*（2t＋1）＝4t＾3＋2t＾2-2t-1＝（1/2）*（8t＾3＋4t＾2-4t）-1＝1/2-1＝-1/2.
何故なら、(1)による。

No.4 回答者： mister_moonlight 回答日時： 2009/06/03 23:30

なんだ、間違ってなかったのか。

酔っ払ってると駄目だな。眠いから、もう寝る。後は自分でやって。。。。？

No.3 回答者： mister_moonlight 回答日時： 2009/06/03 23:26

＞っていう式はどのような過程でこうなったかおしえてもらえますか？

ありゃ、これも違ってた。cos（4θ）＝cos（2*2θ）＝2{cos（2θ）}＾2－1　に訂正しておいて。

No.2 回答者： mister_moonlight 回答日時： 2009/06/03 23:08

＞の式なのですがこれは三倍角の公式ですか？

間違った、cos（3θ）＝4{cos（θ）}＾3-3*cos（θ）に訂正して。

この回答へのお礼

はい、わかりました

あとcos（4θ）＝2{cos（2θ）}＾2-1
っていう式はどのような過程でこうなったか
おしえてもらえますか？

お礼日時：2009/06/03 23:15

No.1 回答者： mister_moonlight 回答日時： 2009/06/03 22:04

難問でもなんでもない。

2π/7＝θとすると、2π＝7θから、3θ＝2π-4θであるから、両辺のcosをとると、cos（3θ）＝4cos（θ）-3{cos（θ）}＾3＝cos（4θ）＝2{cos（2θ）}＾2-1より、cos（θ）の値を求める。

そして、cos2/7Π＋cos4/7Π＋cos6/7Π＝cos（θ）＋cos（2θ）＋cos（3θ）＝{cos（2θ）}*{（2cos（θ）＋1）}にそのcos（θ）の値を代入するだけ。

実際の計算は自分でやって。

この回答へのお礼

回答ありがとうございました

cos（3θ）＝4cos（θ）-3{cos（θ）}＾3
の式なのですがこれは三倍角の公式ですか？

お礼日時：2009/06/03 23:01