直角三角形に関する問題がわかりません

「直角三角形において，直角をはさむ２辺の長さの和が一定なら，どんな形の三角形の斜辺が最も短くなるか？」
という問題でつまづきました．
（考え）直角をはさむ２辺の和をb,そのうちの１辺をaとすると
斜辺＾2=a＾2+(b-a)＾2
=2a＾2-2ab+b＾2
長さが負にはならないので
斜辺=√2a＾2-2ab+b＾2(√以下はすべて√のなか）
よって2a＾2-2ab+b＾2が最小になるときを考えればよい．
2a＾2-2ab+b＾2=Pとおく
P=2(a-b/2)＾2+b＾2/2
よってa=b/2のとき，Pは最小値をとる，
よってこの直角三角形の，直角をはさむ２辺の長さは等しいので，
直角二等辺三角形

この解き方だと解けます．
しかし，次の解き方ではできないので，何故できないのかを教えてください．
（解）直角をはさむ２辺の和をb,そのうちの１辺をaとすると
斜辺＾2=a＾2+(b-a)＾2
長さが負にはならないので
斜辺=√a＾2+(b-a)＾2(√以下はすべて√のなか）
よってa＾2+(b-a)＾2が最小になるときを考えればよい．
Q=a＾2+(b-a)＾2とする．
Q=(b-a)＾2+a＾2
よってb=aのとき，Qは最小値をとる．
これだとおかしい

No.5 ベストアンサー 回答者： banakona 回答日時： 2009/06/07 17:44

＃３です。

＞しかし，それだと
＞P=2(a-b/2)＾2+b＾2/2
＞も成り立たなくなるのではないのですか？

ｂは定数なのでｘが変化してもb＾2/2は変化しません。この場合は「ａ＝ｂ／２で最小」でいいのです。一方、

＞Q=(A-x)^2+x^2

は、ｘが変化すると(A-x)^2もx^2も変化するので「Ａ＝ｘで最小」とは言えないのです。

この回答へのお礼

ありがとうございます．
変数が後につくとずれるのですね．
定数とは，はっきりした数値は示さないものの，普通の数字のように決まっているものなのですね．
これからもよろしくお願いします．

お礼日時：2009/06/07 21:25

No.4 回答者： Trick--o-- 回答日時： 2009/06/07 16:03

「直角をはさむ２辺の和をb,そのうちの１辺をaとする」

という条件でb=aだと
2辺のうち片方の長さが０になり、三角形になりません。

この回答へのお礼

ありがとうございます．
普通に考えると，無理だというのがわかるのですが，それが何故ダメなのかがわかりませんでした．
答えは定数と変数をごちゃごちゃにしていたからでした．
これからもよろしくお願いします．

お礼日時：2009/06/07 21:23

No.3 回答者： banakona 回答日時： 2009/06/07 12:54

＞は，やはりこの式が出てきたら最小はA=xだと思います．

＞間違っているのですか？

次の式
Q=(A-x)^2+x^2

でｘが変化すると、+x^2の部分も変化するので、「A=xのときに最小になる」とは限りません。
A-x＝０かつｘ＝０のとき最小値０という考え方もありそうですが、これでは１辺の長さが、２辺の和Aに等しくかつ０ということになり、ありえません。

この回答へのお礼

ありがとうございます．
しかし，それだと
P=2(a-b/2)＾2+b＾2/2
も成り立たなくなるのではないのですか？
これからもよろしくお願いします．

お礼日時：2009/06/07 14:36

No.2 回答者： mister_moonlight 回答日時： 2009/06/07 12:39

何が変数で、何が定数かの判断が出来ていない。

他にも、簡単な方法があるが、これが一番（？）簡単だろう。

直角を挟む2辺をx、y（共に、変数）としその和をkとする。つまり、x＋y＝k　（kは正の定数）とする。→　y＝k-x＞0より、0＜x＜k　‥‥(1)
斜辺＾2＝x＾2＋y＾2＝x＾2＋（k-x）＾2＝2（x-k/2）＾2＋（k）＾2/2　‥‥(2)
従って、(1)の範囲で(2)の最小値を考えるだけ。

時として、使う文字の数を惜しむと理解が難しくなる場合がある。

この回答へのお礼

ありがとうございます．
範囲を考えて考えればいいのですね．
わかりやすいです．
これからもよろしくお願いします．

お礼日時：2009/06/07 14:35

No.1 回答者： proto 回答日時： 2009/06/07 12:01

文字に惑わされていますね。

＞直角をはさむ２辺の和をb,そのうちの１辺をaとすると
2辺の和が一定、すなわちこの場合のbは定数なので、分かりやすく大文字でAと置いてください。
そのうちの1辺が変化すれば、それに合わせてもう1辺も変化する。
すなわちこの場合の1辺の長さは変数なので、分かりやすく小文字でxと置いてください。

このようにすると、

(解)直角をはさむ２辺の和をA,そのうちの１辺をxとすると
(中略)
Q=(A-x)^2+x^2

さぁ、このQを最小にするようなxを求めよう。
本当に最小はA=xのとき？
もう一度、落ち着いて、ゆっくり考えてみてください。

この回答へのお礼

ありがとうございます．
直角をはさむ２辺の和をＡとしているのだから，
Ａをころころ変えるわけにはいかないのですね．
和がＡと決めた上で，１辺をxとおいて，もう一辺の事を考えていけばいいのですね．
しかし，
「さぁ、このQを最小にするようなxを求めよう。
　本当に最小はA=xのとき？」
は，やはりこの式が出てきたら最小はA=xだと思います．
間違っているのですか？
これからもよろしくお願いします．

お礼日時：2009/06/07 12:12