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曲線Cを図の通りとする。

積分路変形の原理
「複素関数f(z)が単連結領域Dで正則ならば,D内の任意の2点α,βを結ぶ曲線Cに沿った
∫_C f(z)dzは積分路Cの採り方によらず,常に一定の値を採る」

[問]∫_C exp(-2πz)dz, where C is the contour.
という積分を求める問題です。

Cよりも簡単な直線C_1:z_1(t):=πt-it+i (但し,0≦t≦1)とするとdz_1(t)/dt=π-iなので

∫_C exp(-2πz)dz=∫_C exp(-2πz_1)dz_1
(∵複素平面は単連結で複素平面上の任意の点zに於いて関数exp(-2πz)は正則。
よって,積分路変形の原理が使える)

=∫_0^1 exp(-2πz_1(t))dz_1(t)/dt・dt
=∫_0^1 exp(-2πz_1(t))(π-i)dt
=∫_0^1 πexp((-2π^2+2πi)t-2πi)-iexp((-2π^2+2πi)t-2πi))dt
=π/(-2π^2+2πi)[exp(-2π^2+2πi)t-2πi)]_0^1-i/(-2π^2+2πi)[exp(-2π^2+2πi)t-2πi)]_0^1
=(π-i)/(-2π^2+2πi) ・exp(-2π^2)-exp(-2πi)

となったのですがこれで正しいでしょうか?

「[問]∫_C exp(-2πz)dzの値」の質問画像

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A 回答 (2件)

No.1 さんに対して蛇足ですいません。



[1]
質問者さんと同様、初心者の頃は
exp(-2πi)=1
となることにときとして「自信」がなくなるときがある。

[2]
最初の因子
=(π-i)/(-2π^2+2πi)

の分母は元々、因子として
(-2π^2+2πi)=-2π(π-i)

ですから、分子と同じ因子があり、「約分」できるので、最初の因子は全体として次のようになります。
-1/2π

よって、答としては、
(-1/2π)・{exp(-2π^2)-1}

あるいは「-」記号を打ち消すように、
{1-exp(-2π^2)}/2π
とでもすれば、きれいです。
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この回答へのお礼

仰るとおりでした。
どうもありがとうございました。

お礼日時:2009/06/22 12:45

書く際に忘れたものと思いますが、最後の所で、


>=(π-i)/(-2π^2+2πi) ・exp(-2π^2)-exp(-2πi)
exp(-2π^2)-exp(-2πi)を括弧でくくるように。
それと、exp(-2πi)はもう少し簡単にできます。

今回は簡単な1直線の経路を選びましたが、次のような経路も使えます。
i→0を虚数軸上で積分して、0→πを実数軸上で積分して足す。
非積分関数の形によってはこのとり方をしたほうが楽な場合もあります。
ご参考まで。
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この回答へのお礼

仰るとおりでした。
どうもありがとうございました。

お礼日時:2009/06/22 12:44

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