力学・仕事

力学の仕事についてです。
問題
直径0.5m、高さ5mの円柱を横倒しの位置から直立させるのに必要な仕事を求めよ。円柱の密度は2500kg/m^3とする。

円柱の質量は
π*0.25^2*5=(5/16)π
(5/16)π*2500=2454.36kg

ここから先が？です。質量も自信ありません。

ヒントでも良いのでお願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： BookerL 回答日時： 2009/06/21 23:48

　物を持ち上げるのに必要な仕事は ｍｇｈ で計算されます。

ｍ は計算されていますので、あとは持ち上げる高さ ｈ がわかればいいわけです。

　円柱の内部は一様であると仮定して、横倒しの円柱の重心の高さは、０.２５ｍ、直立した円柱の重心の高さは ２.５ｍ です。円柱の位置エネルギーの差は、この高さの差から計算でき、必要とされる仕事は位置エネルギーの差であると考えることが多いのですが、この問題の場合は少し余分の仕事が必要になります。
　横倒しの状態からたてていくとき、重心の高さが一番高くなるのは、重心が底面の縁の真上にあるときで、この高さまで重心を持ち上げてやる必要があります。この高さは、たて ５ｍ、よこ０.５ｍの長方形の対角線の半分の長さ　(1/2)√(５^2 ＋ ０.５^2)　になります。

　まとめると、

　ｍ：０.２５^2 * π * ５.０ * ２５００ [kg]
　ｇ：９.８ [m/s^2] （有効数字によっては ９.８０ あるいは ９.８１ などと与えられていればそれに従う）
　ｈ：(1/2)√(５^2 ＋ ０.５^2) － ０.２５ [m]

をもとに、ｍｇｈ を計算することになると思います。

この回答へのお礼

分かりやすくてよく理解できました。

いろいろな意見が出ましたが、この方法で解いた答えが解答と一致しました。ありがとうございました。

お礼日時：2009/06/27 20:10

No.6 回答者： htms42 回答日時： 2009/06/22 12:55

エネルギーの回収機構が設定されていない限り最高点に持っていくまでに必要な仕事がこの場合の答えではないでしょうか。

その場合、最高点から後の運動は必要な仕事とは無関係です。
地球と円柱と地面との間での問題です。

ジェットコースターをスタート位置（最高点）まで持ち上げる時に必要なエネルギーという場合と同じように考えていいのではないでしょうか。最高点から後、コースターは高さの差の分だけ運動してもとの位置に戻ります。「初めと終わりの位置は同じだから基本的に仕事は必要ない」と言うことはありません。
最高点まではモーターで動かします。かなりのエネルギーを使っています。最高点から後、エネルギーの回収は行われていません。

No.5 回答者： lycaon 回答日時： 2009/06/22 11:32

#3です。

仕事は普通、次の線積分を計算して求めます。
Ｗ＝∫Ｆdx

本問に当てはめると、傾いている質量ｍの円柱の重心をｄｈだけ上げるに必要な仕事はｍｇｄｈ・・・？、

そうなら
Ｗ＝∫<1→3>ｍｇ・ｄｈ＋∫<3→2>ｍｇ・ｄｈ
＝∫<1→3>ｍｇ・ｄｈ－∫<2→3>ｍｇ・ｄｈ
＝∫<1→2>ｍｇ・ｄｈ
＝ｍｇ(ｈ2－ｈ1)・・・(*)

ですが、
円柱の重量の多くを地面が受けており、一番最初に人に必要な力はｍｇにあらず 1/2ｍｇだけ。
円柱が立つに連れて必要な力は徐々に変化（減少）し、トータルの仕事は途中の経路で変わるので、途中を考えるとかなりの難問。

＞最後、振動するとかバウンドするとか熱が発生するとかするので、

えっと、結局は最初と最後の位置エネルギーの差になる、と言ってしまえそうで、付随的な熱の発生を無視すれば、(*)式により、むしろ最高位置から最終位置への仕事を引いた #1氏のご回答の方が正しそうな気がしますが・・・

う～ん、模範解答は？？

No.4 回答者： sanori 回答日時： 2009/06/22 10:50

＃１の回答者です。

私の前回回答は、地面が真っ平らだと成立しません。
ですから、不正解です。

位置エネルギーが最大の状態（斜めの状態）から直立に至ったとき、
最後、振動するとかバウンドするとか熱が発生するとかするので、
その分の仕事も余計に必要になります。

失礼しました。

No.3 回答者： lycaon 回答日時： 2009/06/22 09:12

？？？

#1、#2 両氏で見解が分かれていますが、どちらが正しいか、力学不勉強の私にはよく判りません。
物体の重心を高さｈ1から高さｈ2まで持ち上げる際、途中で重心はｈ2よりも高いｈ3を経由した。
必要な仕事をＷとすると、

#1氏の見解：Ｗ1＝ｍｇ(ｈ2－ｈ1)
#2氏の見解：Ｗ2＝ｍｇ(ｈ3－ｈ1)
差：　　　　ΔＷ＝Ｗ2－Ｗ1＞0　

仕事が状態量ならＷ1でよいのですが、仕事は状態量ではなく、途中の経路で変わる。
では途中を考慮したらＷ1かＷ2か？

怪力の人（例えばジャボチンスキー）が円柱を横倒しから重心最高位置までヨイショと立ち上げていくまでに、人が円柱に対して行う仕事の総量はＷ2です。
その後地球が円柱に対してΔＷの仕事を行って、円柱はｈ2の状態で安定した。

「直径0.5m、高さ5mの円柱を横倒しの位置から直立させるのに必要な仕事を求めよ。円柱の密度は2500kg/m^3とする。」
円柱の材質はガラスでは製造困難なので太い鉄筋を入れたコンクリートかな？・・・ということはさて置いて、
とりあえずＷ2の仕事をすることが必要です。

問題はそのあとで、人は地球からΔＷを返して貰うことはできないから、人に必要な仕事量はＷ2だ、と言うことになります。が、
問題文に「人に必要な」と書いていない今回の場合、やはりＷ2でいいんでしょうかね？

（質問者様へ。模範解答はどうなっていますか？）

この回答へのお礼

模範解答は#2氏のほうでした。
問題を写すときに直径を写し間違えた為答えが違っていましたが、計算しましたら#2氏の方法でやりましたら回答と一致しました。

人に必要な仕事量ではなく物体にかかる仕事量です。
アドバイス有難う御座います。

お礼日時：2009/06/27 20:08

No.1 回答者： sanori 回答日時： 2009/06/21 23:33

こんばんは。

半径ｒ（＝直径／２）、高さｈ、密度ρ、重力加速度ｇ　と置きます。

１．
横倒しのときのときは、重心が地表からｒだけ浮いていて、かつ、重心の上下に対称な形状なので、
位置エネルギーは、
（πｒ^2・ｈ・ρ）・ｇ・ｒ

２．
直立のときは、重心が地表からｈ／２だけ浮いていて、かつ、重心の上下に対称な形状なので、
位置エネルギーは、
（πｒ^2・ｈ・ρ）・ｇ・ｈ／２


１から２の状態にするとき、仕事のロスは考える必要がありません。
つまり、２から１を引けば、必要な仕事ですから・・・
（答えは、ずっと下）














































（πｒ^2・ｈ・ρ）・ｇ・ｈ／２　－　（πｒ^2・ｈ・ρ）・ｇ・ｒ
（πｒ^2・ｈ・ρ・ｇ）（ｈ／２　－　ｒ）
　＝　（π×０．２５^2×５×２５００×９．８）×（２．５－０．２５）
　＝　５．４　×　１０^4　ジュール


ちなみに、
１や２の状況は、どちらも重心の上下に対称だから簡単なのですが、
対称でないような問題の場合は、積分が必要となります。
対称でよかったですね（笑）

この回答へのお礼

有難う御座いました。
最初に回答してくださったので10pt付けさせていただきました。

お礼日時：2009/06/27 20:12