No.2ベストアンサー
- 回答日時:
(1)
z^4+z^3+z^2+z+1=0
z≠1なので(z-1)(≠0)を両辺にかけると
z^5-1=0
z^5=1
|(z^5)|=1
|z|= ?
(2)zは半径1の円周上の点P(z)であり
|z-1|^2
は円周上の点zと点A(1+0i)の距離の2乗
|z+1|^2
は円周上の点P(z)と点B(-1+0i)の距離の2乗
なので∠APB=90°、AB=2(円の直径)
3平方の定理(ピタゴラスの定理)から
PA^2+PB^2=AB^2
従って
|z-1|^2+|z+1|^2= ?
あとは分かりますね?
分からなければ、あなたの計算過程を補足に書いて、分からない箇所を補足質問して下さい。
No.1
- 回答日時:
z^4+z^3+z^2+z+1=0 から、z^5=1 → z=1. ‥‥(1)
z=x+y*i (x、yは共に実数、iは虚数単位)とすると、(1)より、x^2+y^2=1 ‥‥(2)
|z-1|^2=|(x+y*i)-1|^2=(x-1)^2+y^2。
|z+1|^2=|(x+y*i)+1|^2=(x+1)^2+y^2。
従って、|z-1|^2+|z+1|^2=2(x^2+y^)+2=4.
(1)から、z=cosθ+i*sinθ としても良い。
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