組み合わせの質問です

Question

男子8人、女子6人から男女少なくとも２人づつ含むように当番６人を選んで音楽室の掃除をすることになった。
この組み合わせは何通りか？
という問題なのですが、僕は8C2×6C2×10C2(男子８人の中から二人選び、女子六人の中から二人を選び、残りの人達から二人選ぶ)
別に余事象を使えば出来ます
出来るんですが、別解も考えたかったので質問しました。
しかし、答えがあいませんでした。
僕の考えの穴を教えてください。

また、六人の学生を二つ以上いくつかのグループに分ける。各グループを構成する人数が同じであるとき、その分け方は何通りか？
という問題でぼくは二人、三人、六人のグループが作れると考えました。二人の時は、6C2×4C2で三人の時は、6C3で六人のグループは6!だと思いました。
それらを足すと答えが出てくると思ったのですが、答えが違うかったです。
一体どこに僕の考えの違いがあるのでしょうか？

最後に見分けがつくつかない、たとえば、赤色のおはじき３こと青色の
おはじき４つを並べる時は、おはじきに見分けがつかないものとしてかんがえました。
しかし男の子3人や女の子４人では、見分けがつかないようです。
どういう基準なのですか？

settheory · Accepted Answer

二個目の問題について
一人ずつのグループをつくる組み合わせは１通りになると思います。各々が自分一人でひとつのグループになるので、他のパターンが作りようがないかと。（１～６の番号がついてると思うと、｛{1},{2},{3},{4},{5},{6} ｝という組がひとつだけ。）

一個目について
男子８人をABCDEFGH、女子を１２３４５６で表します。８C２・６C２・１０C２　という数え方だと同じものを重複して数えることがあります。例として、
(A,B 1,2),(C,3) （男子からAB、女子から１２を選んだあと、残りからC,3を選んだ）

(A,C 1,3),(B,2) （男子からAC、女子から１３を選んだと、残りからB,2を選んだあと）

もちろん、上の二つは同じグループになってます。どういう時に重複するかを、分析してそれを削っていくということが必要でしょう。答えは２５９０だと思いますが、８C２・６C２・１０C２をこれで割り切ることができないので、あまり綺麗な法則で重複してないように思います。

別解としては、該当するケースを全部考えるのもありかと。（普通の考え方ですが）男子２女子４　男子３女子３　男子４女子２　この３つのケースしかないことがすぐわかります。（男子の数をここに出てるものより減らすことも増やすこともできない）
余事象の考え方ですと、４つのケースと、全体の組み合わせの数も出すので、こちらの方が若干計算量は少ないと思います。

takeru23 · Answer

No1で回答したものです。

１について
例えば最終的に男の子と女の子が3人ずつ選ばれたとします。ここで男の子3人に注目してみます。質問者さんの考え方だと、男の子3人はまず初めに男の子8人の中から選ばれた2名と、次に男女混合の10人の中から選ばれた1名ということになります。実は、ここで順番をつけてしまったことになります。例えば、最終的に男の子がABCの3人になった場合の組み合わせは1通りですが、質問者さんの考え方だと最初にABで次にCと、最初にACで次にBと、最初にBCで次にAの3通りになってしまいます。この調整が必要になってきます。そして、もう1つ厄介なことに、男の子で最初の2人に選ばれない確率と女の子で最初の2人に選ばれない確率が違っているので、男の子と女の子を同じように扱うことが出来ないのです。この調整も必要になってきます。この調整の部分の掛け算が必要になることになります。そうなると非常にややこしい計算になってきます。

ややこしい計算なので省略といきたいのですが、とりあえず、前半の調整の部分だけでも。まず、男の子8人の中から2人を選ぶ（8C2）、女の子6人の中から2人を選ぶ（6C2）、次に、残った男の子6人と残った女の子4人の中から2人を選ぶという3つに分けて考えます。この場合、最後の部分は、男2女0、男1女1、男0女2の3パターンになります。なので、単純には（6C2×4C0）＋（6C1×4C1）＋（6C0×4C2）になります。これに、最初の2人ずつを選ぶ8C2×6C2を掛ければと考えたいところですが、順番をつけてしまっているために調整のための掛け算が必要になってきます。例えば、男2女0の場合は、最初に選んだ男の子2人と次に選んだ男の子2人に順番をつけてしまっていてこれが6通り（ここは考えてみてください）あります。しかし、男の子4人を選んだだけなら、あくまで1通りです。そのために、6C2×4C0には1/6を掛ける必要があります。同じように考えると、（1/6×6C2×4C0）＋（1/3×6C1×1/3×4C1）＋（6C0×1/6×4C2）となり、これに最初の6C2×4C2を掛けると答えが出てきます。

すいません、非常に分かりにくいかもしれませんが、組み合わせや確率（確率は組み合わせの問題の延長みたいなものなので同じように扱わせてもらいます。ある組み合わせを全ての組み合わせで割ったものが確率ですので）の問題は考え方で簡単になったり、ややこしくなったりするので、いろいろ考えてみて、簡単なやり方が思いつくようになればと思います。ちなみに、質問者さんは余事象を使えばということを書いていましたが、14人の中から6人を選ぶ方法から、女の子あるいは男の子が0人か1人である場合は除くという考え方ですよね？　そのパターンよりも男4女2、男3女3、男2女4の組み合わせを計算する方が楽になります。これも立派な別解ですのでご参考まで。

２について
すいません、6人や6！という部分にだけ意識が行ってしまい、2人と3人のグループ分けの計算式に間違いがあることに気づいていませんでした。この問題も調整のための計算が必要になってきます。
例えば、3人グループのときは、3人選べば残りは勝手に3人のグループになるからと考えて、6C3という計算をしたかと思います。しかし、ここで落とし穴が。例えば、ABCDEFの6人を3人ずつのグループに分けたとき、6人中3人を選ぶ6C3では（ABC）の3人を選んだ場合と、（DEF）の3人を選んだ場合がそれぞれ組み合わせとして選ばれます。しかし、この2つは実は（ABC）と（DEF）で一緒なんですよね。これは、6C3が順番をつけてしまっているために生じています。つまり、6C3で選ばれた人と選ばれていない人という順番をつけてしまっているのです。なので、2種類の順列である2！で割る必要があります。同じように、6C2×4C2というのも最初に6C2で選ばれたものと、4C2で選ばれたもの、その残りということで3種類の順列である3！で割る必要があります。

ややこしいですね。違うグループの組み合わせ（男女とか色の違うおはじきとか）なら単純に掛け算。同じグループを何個かに分けるときは割り算も意識すると考えてみたらいかがでしょうか？（１も、男女を意識していた部分では単純な掛け算だけど、男の子の中で最初に選んだ2人、次に選んだ2人と考えた部分では割り算が出てきてますよね）。

takeru23 · Answer

別解を考える姿勢は素晴らしいです。是非、続けてください。

さて、以下にそれぞれについてコメントを。
１．男子8人、女子6人の問題について
　穴は10C2です。男子から2人、女子から2人はいいのですが、10C2では決められた10人の中から2人を選ぶことになります。ところが、ここでは10人は誰か決まってません。2人ずつを選んだ残りの10人なので、この10人が決まるまでにすでに確率の問題が含まれてきています。なので、今の考え方から答えを出したいときは、10C2に何か掛け算をすることを考えてみてください。

２．6人のグループ分けについて
　一番の問題は、6人のグループを6！としたことです。6人の中から6人を選ぶので6C6です。ただし、これが出来ていたとしても答えがあっているかどうかは問題によっては異なってきます。
　というのは、もう一つの間違いがあって、2人・3人はいいのですが、6人のグループを考えている点に間違いがあります。2つ以上のグループと問題にあるので、1つのグループしかできない6人はありえません。なので、2人と3人のグループを考えることになります。ただし、1人をグループとみなすことができそうな問題であれば、1人・2人・3人の3つのグループを考えることになります。そうなると、答えとしては6人のグループとしたときと答えが同じになりますので、見た目上は正解となります。

３．見分けの基準について
　実際の生活を考えると男の子3人はそれぞれ違う人なので当然見分けはつきます。しかし、この問題では「男の子」であれば誰でもいいのです。男の子であればそれが誰であるかはどうでもいいので「見分けがつかない」という扱いになります。言葉上は「見分けがつかない」を「区別する必要がない」と置き換えてもらう方がいいかもしれません。
　例えば、「みかん2個りんご4個があり、果物を2つ選ぶ」という問題であれば、みかんとりんごは「区別する必要がない」ので果物6個の中から2つを選ぶという形になります。

組み合わせの質問です

二個目の問題について

No1で回答したものです。

別解を考える姿勢は素晴らしいです。

この回答への補足

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