ラグランジュの未定乗数法に関する記述について（陰関数）

ｇ（X,Y)＝０の陰関数表示されたものは、今までXY平面でZ=０で表示される曲線だと思っていたんですが、本に「ｇ（X,Y)＝０は、XとYの陰関数で図形的にはZについて何の制約もないのでZ軸に平行な曲面を表す」とあり？？？つって感じです。
　XY平面に平行でかつZ=０での曲線ではないんでしょうか？
　お詳しい方教えて下さい。宜しくお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： info22 回答日時： 2009/08/04 01:34

三次元XYZ座標系では、

曲面の陰関数表現の方程式が
f(x,y,z)=0
です。
陽関数表現ではz=f(x,y)等です。

曲線は曲面と曲面が交差する曲線として表現できます。
なので、曲線の方程式は、曲面の方程式を２つ使ってその交線として表現します。
質問のg(x,y)=0は三次元空間では曲面の方程式です。zが含まれなければzに関係しないz方向に同じ断面形状の曲面になるだけです。

g(x,y)=0かつz=0
は2つの曲面(z=0は平面です)の方程式が与えられているので、曲面の交線ができ、その交線がz=0の平面上の曲線になるわけです。
お分かりですか？

z=0なる方程式にはx,yが含まれ手いませんのでz=0でZ軸と交わるX軸方向とY軸方向に無限に広がった面、すなわち平面になるわけです。
一般に ax+by+cz=d(a,b,cは同時にセロにならない）は平面の方程式です。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
今まで、　ｇ（X,Y)＝０　と　ｇ（X,Y)＝Zがおなじものだと思っていたんですが、違うということですね。
　例えば、関数が　X+Y-1=0のような場合、前者はXとYのみの関係式になりこれはZがどのような値であろうが関係なくXとYのみの関係式を満たせばよいということになり、後者はX+Y-1＝ZでXとYのとり方によって出力される値がZとなるので、前者はZ軸に平行な曲面を表すといえる
という理解でよろしいでしょうか？
　重ねての質問ご容赦ください。

お礼日時：2009/08/05 06:11

No.4 回答者： info22 回答日時： 2009/08/05 15:37

#1,#3です。

3次元のグラフィックソフトは無料のフリーソフトや有料ライセンスソフトもあります。有料ライセンスソフトは機能も豊富ですが高価です（教育機関の学生や教職員向けの割引価格も設定されていますが、それでも数万円以上、一般価格だと10万円以上もしますね）。その代わり、格子の曲面より滑らかな連続カラー曲面を使い、立体を透かして描画でき3D曲面の重なり部分も透明化できれいに表現できますね。

それに比べ、やはり無料ソフトは機能が劣りますので、各3Dソフトのそれぞれの得意な機能や長所を使い分けて使えば、何とか見られる3次元プロットができ、画像編集ソフトと組み合わせることで、画像図面が作成出来ます。

添付図で使ったソフトは、フリーソフトの3次元グラフィックソフト「3D-GRAPES」で、それを使い3Dプロットし、その画像を画像加工編集ソフト「ペイント」（WindowsPC内蔵）で説明用の文字や線を書き込んでJPEGファイルに落としたものです。(ネット検索でGRAPESを検索すれば、そのHPの中に3D-GRAPESがあります。URLを下に貼り付けておきます)。
3Dプロットが自分で行えると3次元空間の曲線や曲面が描け、その立体を回転させて色々な角度（視点）から観察できるので、3次元的な図形や曲面などの3次元的にイメージが把握できて有力な助っ人になります。
ぜひ、使ってみてください。

参考URL：http://www.osaka-kyoiku.ac.jp/~tomodak/grapes/

この回答へのお礼

返信回答ありがとうございます。
ぜひ、ぜひ参考にかつ、挑戦してみます。
ありがとうございました

お礼日時：2009/08/11 00:48

No.3 回答者： info22 回答日時： 2009/08/05 12:29

#1です。

A#1の補足の質問について
>ｇ（X,Y)＝０　と　ｇ（X,Y)＝Zがおなじものだと思っていたんですが、違うということですね。

3次元空間では全く違いますね。

>例えば、関数が　X+Y-1=0のような場合
>前者はZ軸に平行な曲面を表す

>後者はX+Y-1＝ZでXとYのとり方によって出力される値がZとなる。
>という理解でよろしいでしょうか？
そうです。

3次元の図で見た方が分かりやすいと思いますので図を作って見ました。

両者の表す曲面（平面）をx,yを適当な間隔の値を与えて、3次元空間に曲面をプロットすれば、添付図のように、ともに平面になります。
x+y-1=0は青色の平面でZ軸に平行な平面
x+y-1=zはピンク色の平面で斜めに傾斜した平面
となり、両者とも点A(1,0,0)と点B(0,1,0)でX軸とX軸に交わります。
２つの平面が交わる直線（両平面の交線：図中の黒色の直線）は
「x+y-1,z=0」の2つの式で与えられ、この交線は点A,Bを通り、両平面上にあることは言うまでもありません。

この回答へのお礼

画像付きの回答感謝感激しております。
おかげで理解できました。
ちなみに、こんな三次元のグラフとかって作成するにはやはり特別なソフトを購入してパソコンにインストールしないといけないんでしょうか？
パソコン初心者なもので…　（自分もいろいろ作ってみたいなとかおもいまして）
　重ね重ねの質問ご容赦ください。画像付き回答には本当にド肝をぬかれました。

お礼日時：2009/08/05 13:39

No.2 回答者： noname#101087 回答日時： 2009/08/04 16:29

>ｇ（X,Y)＝０の陰関数表示されたものは、今までXY平面でZ=０で表示される曲線だと思っていたんですが、本に「ｇ（X,Y)＝０は、XとYの陰関数で図形的にはZについて何の制約もないのでZ軸に平行な曲面を表す」とあり？？？つって感じです。

>　XY平面に平行でかつZ=０での曲線ではないんでしょうか？

いずれも 3 次元のケースらしいので、本のコメントが正解でしょうね。
制約条件の冗長表現をすれば、g(X,Y)=0 かつ Z は任意、ということでしょうから。
それに Z=0 という余分な制約を加えてしまうと、正しい解を得られなくなるのがふつう。
　

この回答へのお礼

いつも回答ありがとうございます。（経済学の質問への回答いつも感謝しております。）Z=0は別個の制約条件である。という趣旨の内容理解しました。

お礼日時：2009/08/05 06:17