指数関数の方程式の解き方について

a,b,c,d,uは定数、xは変数、eはexp
a≠b≠c≠d≠u≠0
の時、

ae^(-((x-u)/c)^2)+be^(-((x-u)/c)^4)=d
の式のxの解を求めたいのですが、どのようにすればいいのかわかりません。

どなたか解き方のわかる方はいらっしゃいますでしょうか？
教えていただけると、ありがたいです。

よろしくお願いします。

No.9 ベストアンサー 回答者： noname#101087 回答日時： 2009/08/25 13:24

>スプレッドシートを知らないので ....

Windows 系なら EXCEL が代表的かな。

>a=7.4
>b=2.7
>c=80
>u=488
>d=10.4

　↓　my spread-sheet says,

w = -0.040 : z = 0.960

これだと、#8 さんのご指摘通り、実数解 x は得られませんね。
　

この回答へのお礼

スプレッドシートの件、ありがとうございます。


実数解はありませんか・・・。

わかりました。
ありがとうございます。

お礼日時：2009/08/25 21:44

No.8 回答者： info22 回答日時： 2009/08/25 13:10

#1,#5,#6です。

A#6の補足の回答
> a=7.4
> b=2.7
> c=80
> u=488
> d=10.4
の場合は
ae^(-((x-u)/c)^2)+be^(-((x-u)/c)^4)=d　…(▲)
の左辺はx=uでの最大値a+b=7.4+2.7=10.1
をとります。
一方、右辺のd=10.4
が左辺の最大値10.1より大きいため、
任意のxに対して
ae^(-((x-u)/c)^2)+be^(-((x-u)/c)^4)＜d
という関係にあって
等号が成立することはありません。

したがって、この場合は(▲)を満たす実数xは存在しませんね。

なお
A#1の補足の
>> a≠b≠c≠d≠u≠0
> これは、a≠bかつb≠cかつc≠dかつd≠uかつu≠0かつabcde≠0です。
の「abcde≠0」のeはuのケアレスミスでしょう。eは自然対数の底（ネイピア数、ネピア数）ですから。

この回答へのお礼

>eは自然対数の底（ネイピア数、ネピア数）ですから。

確かにその通りです。

ケアレスミスです。
申し訳ありませんでした。

お礼日時：2009/08/25 18:57

No.7 回答者： noname#101087 回答日時： 2009/08/25 08:47

>.... ae^(-((x-u)/c)^2)+be^(-((x-u)/c)^4)=d の式のxの解を求めたい

{(x-u)/c}^2 = w とし、
　　f(w) = ae^(-w) + be^(-w^2) = d
を変形して、
　e^w = {a + b*e^(w-w^2)}/d

さらに、z = e^w, g(z) = {a + b*z/z^w)}/d, w = LN(z) として、
　z = g(z)
の不動点を逐次代入で求める手なら、スプレッドシート(シート関数) で簡単に組めます。

Newton よりチョイとのろくなりますが、手間要らず。
　

この回答へのお礼

ご返答、ありがとうございます。

スプレッドシートを知らないので、少し調べてみます。

お礼日時：2009/08/25 12:45

No.6 回答者： info22 回答日時： 2009/08/24 23:52

#1,#5です。

#3,#4さんの補足をすれば
A#3,A#4のwは僕のYと同じものです。
A#3,A#4をまとめると
0<d≦a+b(a>0,b>0)に対して w(=Y≧0)が1個決まります。
また
a=10,b=-8,0<d<1.40078 ... では　w(=Y≧0)が3個決まります。

A#5で質問者さんに補足要求したように、a,b,c,d,uの条件をもう少し具体的に与えていただかないと、一般化した文字定数では問題の場合分けが複雑になるだけで、具体的な解の話に進めませんね。

質問者さん、補足願えませんか？
a,b,c,dのどんな値に対する解が必要なのでしょうか？

この回答へのお礼

はい。

a=7.4
b=2.7
c=80
u=488
d=10.4

となります。

お礼日時：2009/08/25 12:24

No.5 回答者： info22 回答日時： 2009/08/24 23:11

#1です。

A#1でミスしました。
>X=e^(-((x-u)/c)^2)（0<X≦1）…(●)
と置いても
>aX+bX^2=d
とはなりません。
#2さんの指摘どおりです。

したがって、(●）のXによる置換法は無視して下さい。

質問者さんへ
A#1の前半のa,b,c,d,uの条件について説明の補足をいただけませんか？

改めて
Y=((x-u)/c)^2 (Y≧0) …(■)
とおくと　
ae^(-Y)+be^(-Y^2)=d　…(◆)

とおくと(■)のY（≧0）に対して　x が2個決まります。
ただし、Y=0の時はxが重解になるの1個とカウントした方が良いかも知れません。

(◆)を満たすY(≧0)は a,b,dにより、0個～3個と変化します。
したがって、元の方程式を満たすxの個数は、a,b,c,d,uの値により、0個～6個と変化します。

これ以上は定数a,b,c,d,uの値が与えられないと、具体的なxが求められないですね。
a,b,s,d,uが与えられれば、その時の x の近似値は数値計算により求められます。

No.4 回答者： noname#101087 回答日時： 2009/08/24 22:59

a=b=d=1 なら、w = 0.7820.... に収束。

これなら後半へ行けますかね。
　

No.3 回答者： noname#101087 回答日時： 2009/08/24 22:26

>.... ae^(-((x-u)/c)^2)+be^(-((x-u)/c)^4)=d の式のxの解を求めたい

まず、{(x-u)/c}^2 = w として、
　　f(w) = ae^(-w) + be^(-w^2) = d
を Newton で。
　df(w) = {-ae^(-w) - 2wbe^(-w^2)}*dw

a=1, b=2, d=4 でトライしたら、w = -1.286.... に収束。
これは、アキマヘン。
　

No.2 回答者： arrysthmia 回答日時： 2009/08/24 20:54

行き詰っている箇所 ↓

a e^( -((x-u)/c)^2 ) + b e^( -((x-u)/c)^4 ) = d で
X = e^( -((x-u)/c)^2 ) と置くと、
a X + b X^( ((x-u)/c)^2) = d とは成りますが、
a X + b X^2 = d には成りません。

またいつものランベルトＷかなぁ？　…考え中です。

この回答へのお礼

ご返答、ありがとうございます。

ランベルトW？

すみません。
知らない言葉ですので、少し調べてみます。

お礼日時：2009/08/25 10:53

No.1 回答者： info22 回答日時： 2009/08/24 20:02

>a≠b≠c≠d≠u≠0

これは書き直せば
a≠b　かつ
b≠c　かつ
c≠d　かつ
d≠u　かつ
u≠0
ということになりますがよろしいですか？
a=c=0でも良い、b=d=0でも良いということになりますがよろしいでですか？

a,b,c,d,uがすべてゼロでないなら　abcdu≠0　と書きますがいかがですか？

解き方は、2段構えで考えたらどうでしょう。
X=e^(-((x-u)/c)^2)（0<X≦1）…(●)
とおくと
aX+bX^2=d
b≠0であれば Xの2次方程式になります。
　X^2+(a/b)X-(d/b)=0
b=0,a≠0なら　Xの一次方程式になります。
　X=d/a
Xの0<X≦1を満たす解が存在する条件で　Xが決まりますので
　xも(●)から決まるでしょう。

後は、できるでしょう？

分からなければ、やった解答の途中計算を補足に書いた上で、行き詰っている箇所を質問してください。

この回答へのお礼

ご返答、ありがとうございます。

>a≠b≠c≠d≠u≠0
これは、a≠bかつb≠cかつc≠dかつd≠uかつu≠0かつabcde≠0です。
わかりにくい書き方をしてしまい、申し訳ありませんでした。

わかりやすい回答をありがとうございます。

丁寧な解答で助かりました。

お礼日時：2009/08/25 10:44