確率と大数の法則の矛盾

サイコロを何度もふるとします。
例えば、次に1が出る確率はいつでも1/6です。
極端な場合、1が連続して20回出なかったとしましょう。もうそろそろ1が出てもおかしくないと思いますが、次に1が出る確率はやはり1/6でしょう。
一方で大数の法則というのがあります。サイコロをふる数を積み重ねていけば、1から6までが出る回数は確率で計算した数に近くなるというものだと理解しています。60回ふればそれぞれ10回前後に、600回ふれば100回前後に、6000回ふれば1000回前後にと確率で求める数（期待値）に次第に近づいていくものということだと思います。
こう考えると、1がずっと出ていないようなケースでは、次に1が出る確率は1/6より多いのではないかと思うのです。
この矛盾（？）、どなたか解決してもらえませんか？

No.4 ベストアンサー 回答者： proto 回答日時： 2009/08/28 06:57

ちなみに、サイコロをN回投げて1の目がr回出たとすると、大数の法則で言っていることは

　　|r/N-1/6| → 0　(N→∞)
であって、
　　|r-N/6| → 0　(N→∞)
ではありません。

試行回数を増やせば、1が出た割合r/Nは1/6に近づいていきます。
しかし、1が出た回数と1が出る回数の期待値の差|r-N/6|は0にはなりません。
それどころかNが大きくなれば|r-N/6|はいくらでも大きくなることが知られています。

この回答へのお礼

大数の法則が示していることを数式にして解説いただき、簡潔でわかりやすく、大変ありがとうございます。
回数が無限大に大きくなれば、出る回数と期待値との差も無限大に膨らむというのも非常に驚きであり、また納得も出来ました。

お礼日時：2009/08/28 19:18

No.3 回答者： yanasawa 回答日時： 2009/08/28 02:11

　例えば、スタートから1000回1が出なかったとします。

　でも1001回目に、確率の帳尻を合わせる必要はありません。十万回振って対数の法則に従えば、最初の1000回なんて大した問題ではありません。そのうちに2が500回出なかったということもあるかもしれませんし。
　大数の法則は、多数回の試行に関する経験則です。その内の1回1回に当てはめることはできません。

　そして、パチンコで負けていくのです。

この回答へのお礼

あくまでも経験則なのですね。
パチンコを例にされるとは！・・・深い。

お礼日時：2009/08/28 19:21

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2009/08/28 00:36

ん? なにか問題ありますか?

例えば, 最初の 1兆回ず～っと 1 だけが出ていたとしても, そのあとが 1/6 の確率で出るなら問題ないですよね.

No.1 回答者： naniwacchi 回答日時： 2009/08/27 22:36

まず、「1がずっと出ていないようなケース」が起こること自体、確率として低いということがあります。

もう一つ、各事象は独立ということになるので、先の結果には依存しない（依存するような場合は条件付き確率として計算される）ということになります。
1が出るという事象が極端に低いような状況が生まれるのであれば、
物理的に重心が偏ってるといった条件があると考える方が無難だと思います。

この回答へのお礼

条件付確率という言葉を久しぶりに目にしました。
高校の授業（中学かな？）で確か出てきましたね。

お礼日時：2009/08/28 19:25