チョコエッグの期待値

全部で２０種類あるチョコエッグを５箱買ったときに、期待される種類数はどういう計算で求められますでしょうか？チョコエッグの総数は無限大とします。

No.5 ベストアンサー 回答者： sunasearch 回答日時： 2003/05/19 11:25

＞具体的に数値として出したかった

これは、小数点以下の精度で出したいと言うことでしょうか？
もしそうなら、＃３の方のように厳密な式をたてて表計算ソフトを用いるかプログラムで計算する必要があると思います。
手計算では厳密な解を得るのは難しいと思います。


＞ランダムに５０～１００種類異なるものが入っていると思われる集団(現実的には総数は３０００～５０００程度）から無作為に５～１０個抽出して調べたときに、何種類調べることができるか

たとえば１００種類なら、

１種類目を手に入れるまでは１００／１００=1箱
その後２種類目を手に入れるまでは１００／９９=1.01箱
その後３種類目を手に入れるまでは１００／９８=1.02箱
その後４種類目を手に入れるまでは１００／９７=1.03箱
その後５種類目を手に入れるまでは１００／９６=1.04箱
その後６種類目を手に入れるまでは１００／９５=1.05箱
その後７種類目を手に入れるまでは１００／９４=1.06箱
その後８種類目を手に入れるまでは１００／９３=1.08箱
その後９種類目を手に入れるまでは１００／９２=1.09箱
その後１０種類目を手に入れるまでは１００／９１=1.10箱

という値から５種類＝5.10箱が計算できて、
これを逆算すれば５種類弱になることが分かります。

同様に9.38箱で９種類10.48箱で１０種類となることから、10箱では９から１０種類となることが分かります。

この程度までなら、電卓でも可能だと思います。


ちなみに全種類集めるためには、
１００種類で５１９箱、１０００種類でも７４８５箱買えば全部揃うので、
直感よりもだいぶ小さな値な気がします。

あと、１００種類以上なら上の値から見て、
５箱や１０箱取り出せば５種類、１０種類集まるでしょう。

この回答への補足

ここを借りて
みなさまどうもありがとうございました。
本来であれば相談料を支払うべき内容を善意の下に快く教えてくださり、大変ありがたく思っています。
点数はつけさせていただきますが、お答えいただいたみなさま全員へ感謝の気持ちで一杯です。
またどうぞよろしくお願いいたします。

補足日時：2003/05/19 14:56

この回答へのお礼

私の一方的な質問にわかりやすく丁寧に答えてくださってどうもありがとうございました。
２０種類全部得るのに７２箱、
１００種類で５１９箱
という具体的な数値で助かりました。
＃３の方の関数もとてもありがたかったのですが、今となっては数学苦手な人たちに説明するので、sunasearchさんの説明ありがたく拝借させていただきます。
また機会がありましたらよろしくお願いいたします。

お礼日時：2003/05/19 14:51

No.4 回答者： sunasearch 回答日時： 2003/05/12 17:55

このような試行回数の期待値（平均）は確率の逆数で求められます。

たとえば、「さいころを振って初めて１の目が出るのは、
振り始めてから何回目か？」という問題には、
１の目が出る確率１／６の逆数をとって平均６回目と答えられます。

同様に、１種類目が手に入るまでに買うチョコエッグの数は、（確率）２０／２０の逆数をとって、（平均）１箱買う必要があります。

１種類目が手に入ってから２種類目が手に入るまで何回買わないといけないかは、（確率）１９／２０の逆数で（平均）２０／１９＝１．０５箱買う必要があります。

２種類目が手に入ってから３種類目が手に入るまで何回買わないといけないかは、（確率）１８／２０の逆数で（平均）２０／１８＝１．１１箱買う必要があります。

…

１９種類目が手に入ってから２０種類目が手に入るまでは、（確率）１／２０の逆数で（平均）２０箱買う必要があります。

したがって、全種類手に入れるには、
２０／２０＋２０／１９＋２０／１８＋…＋２０／２＋２０／１＝７１．９５箱買う必要があります。

この過程で、４種類手に入るまでの平均が４．３４箱、
５種類手に入るまでの平均が５．５９箱ですので、
答えは４から５種類となります（笑）

この回答への補足

　説明としては理解しやすくてありがたかったです。
　実はランダムに５０～１００種類異なるものが入っていると思われる集団(現実的には総数は３０００～５０００程度）から無作為に５～１０個抽出して調べたときに、何種類調べることができるかを具体的に数値として出したかったものですから。

補足日時：2003/05/18 13:10

この回答へのお礼

説明ありがとうございます。知りたかったのは試行回数の期待値ではなくて、５回(箱)買った場合の種類数の期待値なのです。
しかし全種類手に入れるまでに必要な個数の計算はよくわかりました。ありがとうございました。

お礼日時：2003/05/18 12:12

No.3 回答者： kony0 回答日時： 2003/05/07 21:01

P(n,k)を、n個買ったときにちょうどk種類ある確率とします。

P(n,1)=(1/20)^(n-1)
P(n,k)=P(n-1,k-1)*(21-k)/20+P(n-1,k)*k/20

これをもとにExcelで計算すると、
P(5,1)=0.00000625
P(5,2)=0.00178125
P(5,3)=0.05343750
P(5,4)=0.36337500
P(5,5)=0.58140000

よって、Σ(k=1,2,3,4,5)k*P(5,k)を求めると、4.52438125となりました。

ところで、
＞３種類の場合は（３個と１個と１個）、（２個と２個と１個）の２通りあるから
(1/20^2)X(19/20)X(18/20)X3X2
これはおかしくて、
{(1/20^2)X(19/20)X(18/20)*(5!/3! + 5!/2!2!)}*3
ではないですか？

詳しくは、参考URLの#6の私の「蛇足」を。

参考URL：http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=537481

この回答への補足

ありがとうございました。
P(n,k)=P(n-1,k-1)*(21-k)/20+P(n-1,k)*k/20
の式になぜ到達するのか理解していないのですが、というか私の頭では計算できません（＾＾；。
P(5,1)とかP(5,5)の計算の場合、式の中にP(5,0)とかP(4,5)とかが出てきますよね、この辺は具体的には何になるんですか？

また、５！／３！っていうのは階乗の５ｘ４ｘ３ｘ２ｘ１／３ｘ２ｘ１って意味でしょうか？なんで？確かに、私の計算式はなんだか変なんですけど(どうやって考えたのかもう思い出せない。爆。)

補足日時：2003/05/18 13:02

この回答へのお礼

関数式への具体的な理解はできないままですが、非常に論理的な説明どうもありがとうございました。研究計画の期待値の説明のところで使わせていただきます。プレゼンする私もプレゼンされる人たちも生物学畑の人で、数学から離れて久しいので数式を理解するのはとりあえず放棄します（＾＾；）。
本当にありがとうございました。

お礼日時：2003/05/19 14:56

No.2 回答者： ranaranran 回答日時： 2003/05/07 19:06

私も#1さんと同じやり方で、同じ結果がでました。

他に方法が思いつきません。
蛇足ですが、
20種類全ての商品を揃えるためには平均的に71.95箱のチョコエッグを買わなければならないでしょう。（マルコフ過程で平均推移時間を算出しました）

No.1 回答者： hitomura 回答日時： 2003/05/07 15:22

すみませんが、チョコエッグ５箱というのは、商品１個が入っている箱のことでしょうか？それとも、運搬用の、チョコエッグが何個か入っている箱のことでしょうか？

後者の場合は、その箱の中にチョコエッグが何個入っているかも回答願います。

この回答への補足

商品1個です。すみません。
私なりに３種類弱という結果が出ているのですが、考え方があっているのかわからなくなってきたので教えていただけますと幸いです。

補足日時：2003/05/07 15:34

この回答へのお礼

さっそくの補足要求ありがとうございました。
計算しなおしてみました。計算違ってた（爆汗）。
１種類のみの場合(1/20^4)X1
２種類のみの場合は（４個と１個）、（３個と２個）no
二通りあるから
(1/20^3)X(19/20)X2X2
３種類の場合は（３個と１個と１個）、（２個と２個と１個）の２通りあるから
(1/20^2)X(19/20)X(18/20)X3X2
４種類の場合はダブりがひとつだけある場合なので、
(1/20)X(19/20)X(18/20)X(17/20)X4
５種類の場合は
(19/20)X(18/20)X(17/20)X(16/20)X5
これらの数値を合計すると
３．０６５６２５種類
と出るのですが、はたしてこのやり方でいいのか？
何か他にもっと賢いやり方があって、１００種類ある商品を無作為に５０個買う場合の期待値（種類）とかが簡単に出せないのか？
というところを教えていただければありがたいです。
よろしくお願いいたします。

お礼日時：2003/05/07 17:20