No.1
- 回答日時:
日本では「継子立て」という名前で知られています.
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=49741
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=449260
などいかがでしょうか.
No.2
- 回答日時:
予想
2^(N-1) =< n < 2^N を満たすNを見付けると、
J(n)=2n+1-2^N
いま証明考えてます^^;。
もしかしたら、まちがってるかもしれません。
難しい問題ですね。
nの2進表示で消えて行く数字のパターンを見つけて
J(n)の2進表示の満たすべき条件を考えて、
この予想に達したんですが、途中論理ミスを発見して
いまもう一度考えているところです。
いくつかのnで試して見たんですが、なぜか答えが
一致するので悩んでいます。
困り度3みたいなので、siegmundさんが上げているページを参考にするのが早いかもしれませんね^^。一応わたしも参加しようかなと…フライングぎみですが、投稿した次第です^^;。
No.3
- 回答日時:
まず、1からnまでの数を2進表示して縦に並べます。
そして、n=2^N+(a(N-1))2^(N-1)+….+(a1)2+(a0)、とおきます。ただし、(aj)は0か1です。
つまり、nを2進表示で1(a(N-1))…(a1)(a0) とします。
さて、数を消していきます。
まず、1からnまでの偶数が消えて行きます。それは、2進表示だと第1桁目の数が0の
ものが消えて行くことになります。
そこで、もし(a0)=0なら、つぎに消えていくのは、2進表示で第2桁目が1になっている
数字になります。もし、(a0)=1なら、つぎに消えて行くのは、2進表示で第2桁目が
0になっている数字になります。
この法則は以降も成り立っているみたいです(まだ証明できていません;;)。
つまり、(aj)=0なら、第(j+1)桁目が1となっている数を消し、(aj)=1なら、第(j+1)桁目が0に
なっている数を消す、という具合に。
よって、一番最後に残る数の2進表示は、第1桁目が1で、第(j+1)桁はちょうど(aj)に等しい(j=1,…,N-1)。つまり、2進表示で、
J(n)=(a(N-1))(a(N-2))…(a2)(a1) 1
となります。これは、nの2進表示を左へひとつずらして、一番大きい桁を除いて、1を足した値です。
すなわち、J(n)=2( n - 2^N ) +1 =2n - 2^(N+1) + 1。
以上のように私は答えを求めました。でもまだ途中で用いた法則が証明できていません。
この部分の証明、すぐに思い付かないので、またにします。
No.4
- 回答日時:
すみません、コピーが途中からでした。
もう一度全文投稿します。--------------------------
siegmundさんの指示しているページでは、
No.2のguiterさんが答えを提示して、
そのあとstamachmanさんが証明をしていますね。
どうやら私の出した答えも同じなので、合っているみたいですね。
stmachmanさんの証明は(私ちょっとめんどくさがりで)読むのがしんどいので、
私がどうやって考えたのかを説明します。
まず、1からnまでの数を2進表示して縦に並べます。
そして、n=2^N+(a(N-1))2^(N-1)+….+(a1)2+(a0)、とおきます。ただし、(aj)は0か1です。
つまり、nを2進表示で1(a(N-1))…(a1)(a0) とします。
さて、数を消していきます。
まず、1からnまでの偶数が消えて行きます。それは、2進表示だと第1桁目の数が0の
ものが消えて行くことになります。
そこで、もし(a0)=0なら、つぎに消えていくのは、2進表示で第2桁目が1になっている
数字になります。もし、(a0)=1なら、つぎに消えて行くのは、2進表示で第2桁目が
0になっている数字になります。
この法則は以降も成り立っているみたいです(まだ証明できていません;;)。
つまり、(aj)=0なら、第(j+1)桁目が1となっている数を消し、(aj)=1なら、第(j+1)桁目が0に
なっている数を消す、という具合に。
よって、一番最後に残る数の2進表示は、第1桁目が1で、第(j+1)桁はちょうど(aj)に等しい(j=1,…,N-1)。つまり、2進表示で、
J(n)=(a(N-1))(a(N-2))…(a2)(a1) 1
となります。これは、nの2進表示を左へひとつずらして、一番大きい桁を除いて、1を足した値です。
すなわち、J(n)=2( n - 2^N ) +1 =2n - 2^(N+1) + 1。
以上のように私は答えを求めました。でもまだ途中で用いた法則が証明できていません。
証明大変かもしれませんが、がんばって考えて下さい。
この回答への補足
あの…バカな質問でごめんなさい。
J(n)=2( n - 2^N ) +1 =2n - 2^(N+1) + 1
上の式で、nは円卓についた人数ですよね。
では、Nって何ですか?
何の数を入れればいいんでしょう?
ああ!やっぱりわかりました。
2^(N-1) =< n < 2^N を満たすNですね?
で、J(n)=2n - 2^(N+1) + 1で実際に計算してみたんですが、答えがマイナスになってしまうんです…。
J(n)=2n - 2^N +1ならうまくいくんですけど。
どういうことでしょう??
No.5ベストアンサー
- 回答日時:
>2^(N-1) =< n < 2^N を満たすNですね?
>で、J(n)=2n - 2^(N+1) + 1で実際に計算してみたんです>が、答えがマイナスになってしまうんです…。
>J(n)=2n - 2^N +1ならうまくいくんですけど。
>どういうことでしょう??
やっぱり、そういう混乱を招いてしまったか^^;。
No.2で述べたJ(n)の式のNと、答えの出し方で出てきたNは一つずれてます。答えの出し方で用いた方が一つ大きいのです。よく読んでもらえれば、わかると思うんですが、No.4で、
「…n=2^N+(a(N-1))2^(N-1)+….+(a1)2+(a0)、とおきます。」のNは、2^N=<n<2^(N+1)を満たすNです。このときは、J(n)=2n - 2^(N+1) + 1 です。なぜ、No.4のように
2^(N-1)<n<2^N をみたすNを使わなかったかというと、それを使ってしまうと、先の文章のnの2進展開式が、
n=2^(N-1)+(a(N-2))2^(N-2)+….+(a1)2+(a0)、
というふうに読みにくくなるからです。しかし、2^(N-1)<n<2^N を満たすNをもちいたほうが、J(n)の式が、
J(n)=2n-2^N+1
となってすっきりするのです。お騒がせしました。
結局、
「2^(N-1)<n<2^N のとき、J(n)=2n+1-2^N」
が結論です。
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