イプシロン、デルタ式の連続関数の定義を使った問題の添削をおねがいします。

(1) a >0 を定数とするとき,ε>0 に対して,
『 |x-a|<δ⇒|√x-√a|<ε』を満たすような δ>0 を1つ求めなさい

(2) f(x):= x^2, a >0 とする.このとき,ε>0 に対して,
『 |x-a|<δ⇒|f(x)-f(a)|<ε』を満たすような δ>0 を1つ求めなさい

添削していただきたいのは上の二つです(似たような問題ですが、、)

(1) 任意のεに対して, ある δ= √a*ε をとると

|x-a|<δ⇒

|√x-√a| = |(x-a)/(√x+√a)| = {1/(√x+√a)}*|x-a|

≦ (1/√a)*|x-a| < (1/√a)*√a*ε =ε

よって δ= √a*ε //


(2) 0<δ≦1 の範囲で探すとすると

|x-a|<δ≦1 ∴|x-a|≦1 ∴-1≦x-a≦1 ∴(-(2a+1)<)2a-1≦x+a≦2a+1

∴|x+a|≦2a+1‥‥(*)

任意のεに対して, ある δ=ε/(2a+1) をとると

|x-a|<δ⇒

|f(x)-f(a)| = |x^2-a^2| = |(x-a)(x+a)| = |x-a|*|x+a| ≦ (2a+1)*|x-a|‥‥(∵(*) )

< (2a+1)*{ε/(2a+1)} =ε

よって δ=ε/(2a+1) //

あやふやで自信ないです。よろしくおねがいします。

No.1 ベストアンサー 回答者： nag0720 回答日時： 2009/11/20 02:23

(1)は完璧です。

(2)は不十分ですね。

(*)の不等式は、δ≦1の時にのみ成立するのだから、
δは、1とε/(2a+1)のうち小さい方とすべきです。
つまり、
δ=ε/(2a+1)　（ε≦2a+1　のとき）
δ=1　　　　　（ε＞2a+1　のとき）

この回答へのお礼

任意のεに対してなのですからδ=ε/(2a+1)だけでは当然成り立たないですよね^^;
助かりました、ご指摘ありがとうございます。

お礼日時：2009/11/20 23:45

No.2 回答者： Ae610 回答日時： 2009/11/20 21:19

(2)について・・・

|x^2-a^2|
=|(x-a)(x+a)|=|(x-a)^2+2a(x-a)|＜|x-a|^2+2a|x-a|＜δ^2+2aδ
であるから
δ=√(ε+a^2)-a (a＞0)・・・<1>
と選んでも良いと思う。

実際、<1>のように選べばδ(δ+2a)=εとなり、|x-a|＜δならば
|x|-|a|＜δだから|x|＜|a|+δ=a+δ (∵a>0)
∴|x|+a=δ+2a=ε/δ
|x^2-a^2|=|(x-a)(x+a)|≦|x-a|(|x|+a)＜δ・ε/δ=ε
が成り立つ。

この回答へのお礼

＞=|(x-a)(x+a)|=|(x-a)^2+2a(x-a)|
この変形が自分にはちょっとテクニカルです、、
場合わけをしない方法もあるのですね。
参考になりました、回答ありがとうございます。

お礼日時：2009/11/21 00:08