連続な単関数の例

ｆがAを定義域とする拡大実数への関数で、ｆ（A)が有限集合であるとき、ｆはAにおける単関数であるという。
（１）ｆがAにおける単関数でA=｛c1,c2,,,,cn}とする。
ｆがAで可測であるための必要十分条件はｐ＝１、、、ｎに対してAｐ＝A（ｆ（ｘ）＝ｃｐ）が可測であることである。
（注）A(ｆ（ｘ）＝ｃｐ）とはAの部分集合の元で、ｆ（ｘ）＝ｃｐを満たすようなものの集合を表す。
（問１）上の（１）でA1、、、Anが閉集合⇔ｆはAで連続を示せ。
とあるのですが、
よくわからずに解答をよんで納得しましたが、ｆが定数関数である以外、連続な単関数の例がピンときません。
簡単な例はないのでしょうか？

質問者からの補足コメント

• すみません。f(A)={c1,c2,c3,...,cn}です。

  No.3の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2019/07/06 10:52

• Rにユークリッド距離を入れた場合、そこから定まる位相での連続関数となるようにｆを構成するとします。
  この場合に、簡単な連続単関数の例で、ｆが定数関数以外のものを作るには、Aを工夫して、Aを連結でないようにするほかないのですか？

  No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2019/07/06 11:08

No.5 ベストアンサー 回答者： math男 回答日時： 2019/07/06 16:17

Aは同値関係x〜y⇔f(x)＝(y)によって直和分解されます。

A＝A1∪‥‥∪An
は直和分解です。
A1からAnまですべてが閉集合だとしたら
Aは連結でないか、fが定数関数かのどちらかでしょう。

この回答へのお礼

ありがとうございます

お礼日時：2019/07/09 14:51

No.4 回答者： cage64 回答日時： 2019/07/06 15:27

No.2の補足について。

f(x)=c1 であれば、c1の近傍Vで c2,...,cn のいずれとも交わらないものをとれば、U=f^(-1)(V)は x の近傍で、f(U)={c1}です。xを含む連結成分の各点でこのような近傍がとれますから、fが連続ならxを含む連結成分で定数です。

階段関数で、ジャンプする部分だけを定義域から除けば（素朴なリーマン積分のイメージ）、幅を細くすればいくらでも複雑な単関数が作れます。

この回答へのお礼

ありがとうございます

お礼日時：2019/07/09 14:51

No.3 回答者： math男 回答日時： 2019/07/06 09:28

A={c1,c2,c3,...,cn}

ではなく
f(A)={c1,c2,c3,...,cn}
じゃないですか？

No.2 回答者： cage64 回答日時： 2019/07/06 08:18

定義域Aは実数全体であるとは限りません。

例えば、A=[0,1]∪[2,3], f(x)=0 (0≦x≦1), =1 (2≦x≦3) とすれば、A全体では定数関数ではありません。

No.1 回答者： usa3usa 回答日時： 2019/07/06 07:52

単関数ｆを連続にしたいなら、最強位相を入れて、何でも開集合にしてしまえば？