数３の回転体の体積の求め方について、教えてください。

次のような問題の場合について、教えてください。
■一辺の長さが１の正四面体ABCDにおいて、ABとCDの中点をM,Nとするとき、この立体の直線MNを軸として１回転してできる立体の体積を求めなさい。■

というような問題なのですが、
MNの長さは普通に求めて(今回は、1/√2でした)、
MNに垂直にこの立体を切り、その断面積の回転体をS(t)として、∫S(t)dt　で求めるという方針で解こうと思っています。
そこで、疑問なのですが、その断面積を求めるときに、
どのような断面になるかが、全くイメージできません。
答えは、長方形のような断面積になるらしいのですが、
そこまでたどりつくためのコツを教えてください。

よろしくお願いします。

No.5 回答者： info22 回答日時： 2009/12/01 22:38

#2です。

A#3の補足の質問に関連して
>>>AD上の点P(t,p)から直線MNに下ろした垂線が半径となる
>というところで、なぜADなのでしょうか。
>ACの方がしっくりくるんですが、どこで判断したらいいんでしょうか。

これについてはA#4で回答済みです。回転体の表面の軌跡はACでもADでもそれらが回転したときの軌跡は同じく回転体の一番外の曲面となります。AB,CD以外のどの辺を使ってもいいですね。

正四面体に限らないで一般の立体の回転体の外側の半径は、回転軸から最も遠い立体の表面や稜線までの距離になります。また回転体内部に空洞が出来る場合は、その空洞の半径は、回転する立体の回転軸から最も近い所までの距離が回転立体の内側の空洞の半径になります。
この2つは回転体の体積を求めるのに重要なポイントです。覚えておいて下さい。

この回答へのお礼

本当に勉強になりました！
もう迷いはほとんどありません！
ありがとうございました。
>>一般の立体の回転体の外側の半径は、回転軸から最も遠い立体の表面や稜線までの距離になります。
ということは、例外もあるというわけですね・・・。
とりあえず数をこなして回転体に慣れようと思います！
回答ありがとうございました！！

お礼日時：2009/12/02 01:56

No.4 回答者： info22 回答日時： 2009/12/01 22:04

#2です。

A#2の補足質問の回答
>これは、断面積の形は考えずにやる方法なのでしょうか。
回転立体のイメージを理解していれば、断面積の形を考えて、その半径を
求めていることが分かるはず。
回転体の一番外の曲面は何の軌跡で出来ているか、考えて見て下さい。
辺AD（AC,BC,BDのいずれでも構わない）が回転したときの軌跡が回転体の曲面を作っていることがお分かりになりませんか？

>>>直線ADの式を出し、その上の点PからMNに下ろした垂線の長さd
が回転体の半径になる理由が、よくイメージできません。
それは、三次元の直線や立体の形状について慣れるしか無いでしょう。

上のことが分かれば、回転体の半径rがx軸（直線MN）と辺ADとの距離dと等しいことが分かるはず。A#2とA#3の添付図を見ながら、良く考えてみてください。

ネット検索（画像検索もあります）すれば、三次元の直線や曲面、立体の図が数多く見つかります。そういった演習例題を数多く見て、三次元の空間図形に慣れることが大切です。

この回答へのお礼

本当に丁寧な解説ありがとうございました！
がんばります！

お礼日時：2009/12/01 22:18

No.3 回答者： info22 回答日時： 2009/12/01 21:08

#2です。

回転体の立体図は添付図のようになります。

体積Vは以下の式で計算できます。

体積V=π∫[-1/√2,1/√2] {r(x)}^2 dx
ここで,xにおける半径の二乗は(r(x)}^2=(1+2x^2)/4
で与えられます。

Vの積分は
V=(π/2)∫[0,1/√2] (1+2x^2)dx

と簡単な式になりますので、積分は出来ますね？

この回答への補足

返信ありがとうございます。
画像を見て、一気に理解が深まりました。
唯一疑問なのが、
>>AD上の点P(t,p)から直線MNに下ろした垂線が半径となる
というところで、なぜADなのでしょうか。
ACの方がしっくりくるんですが、どこで判断したらいいんでしょうか。
何度も質問すみません。

補足日時：2009/12/01 21:46

No.2 回答者： info22 回答日時： 2009/12/01 20:16

回転体の半径r(t)は、線分（辺）AD上の点P(t,p)から直線MNに下ろした垂線の長さ（点Pと直線MNとの距離）d(t)になります。

このとき、S(t)=πr^2=πd^2

Mを原点(0,0)、直線MNをt軸(X軸)、MAをY軸，NC方向をZ軸にとって、直線ADの式を出し、その上の点PからMNに下ろした垂線の長さdを求めればいいでしょう。
鼓のように中央がくびれた回転体になります。

この回答へのお礼

回答ありがとうございますっ！
これは、断面積の形は考えずにやる方法なのでしょうか。
とても納得できる説明なのですが、
>>直線ADの式を出し、その上の点PからMNに下ろした垂線の長さd
が回転体の半径になる理由が、よくイメージできません。
もっと簡単な問題で数をこなす方がいいのでしょうか・・・。

お礼日時：2009/12/01 21:02

No.1 回答者： debut 回答日時： 2009/12/01 18:53

ＭからＮを見るような図をかいてみたらどうでしょうか。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
今、いろいろ試行錯誤をして、
さまざまな角度からの図を描いているのですが、
MからNをみるように描いたら、線分MNが、点に見えてしまうような図に
なってしまいました；；
MNが一番長く見えるように描くべきなのでしょうか・・・。

お礼日時：2009/12/01 18:59