台形の体積を求める

下図のような上底80mm、下底100mm、高さ90mmの台形の面積は8100と出ますがこれが円形になった場合の体積はどう計算すればよいのでしょうか？円の半径は500mm（台形の上底の80mm含む）。宜しくお願いいたします。

No.1 回答者： nag0720 回答日時： 2009/12/15 21:55

積分で計算する場合、

π∫[0～90](500-20/90x)^2dx-π∫[0～90](400)^2dx
=π([250000x-1000/9x^2+4/243x^3][0～90]-[160000x][0～90])
=7212000π


円錐台－円柱　で計算する場合、

円錐の高さは、90*500/20=2250なので、
500*500*2250π/3 - 480*480*2160π/3 - 400*400*90π
=7212000π

No.2 回答者： info22 回答日時： 2009/12/15 22:12

円錐台（体積V1）は、側面を上に延長していくと円錐（体積V）になります。

延長部分の円錐の体積V2とすると,
V=V1+V2
円錐台の上面の円の半径をa,底面の円の半径をbとおくと
相似立体の体積は対応する辺の長さの比の３乗に比例することから
V1/V=(a/b)^3=(V-V2)/V=1-(V2/V)
∴(V2/V)=1-(a/b)^3 …(1)

Vの高さL,円錐台の高さhとすると
断面の三角形の相似比から
a/b=(L-h)/L=1-h/L
h/L=1-(a/b),
∴L=h/{1-(a/b)} …(2)

(1),(2)から
V=(1/3)(b^2)πL=(1/3)πh(b^2)/{1-(a/b)}
V2=V{1-(a/b)^3}
∴V2=(1/3)πh(b^2){1+(a/b)+(a/b)^2}

これで円錐台の体積V2が、底面の半径b,上面の半径aと円錐台の高さh
を使ってV2の公式がが得られたことになります。

後は、数値を入れて計算してみて下さい。

No.3 回答者： sien611222 回答日時： 2009/12/15 22:36

まず、体積は

［底面の面積］×［高さ］

で求められます。

この円の場合、円のままで底面の面積を求めて高さをかけようとすると
大変なことになりますので、ちょっと考え方を変えます。
円状になっているこの物体を、ケーキを切る要領で切ります。
ただし、細切れにするぐらい、ものすごく薄く切ります。
そして、きった薄っぺらいのを交互に重ねていきます。
すると、一本の細長い、台形の底を持つ立方体ができあがります。
このとき［高さ］は交互に積み重ねているので、［円の周囲の長さ］の半分です。
よって

［底面の面積］×（［円の周囲の長さ］÷２）

で求められることになります。
計算すると体積は12717000となります。

実は台形の底面を交互に積み重ねてもお互いに上手く重なり合わないのですが
実質的に質問者様が提示されたような条件下であればこの方法で上手くいきますし
納得が出来なければ、台形を長方形と三角形に分けて考えてみると良いと思います。
その場合、三角形は二つを反転して重ね合わせて四角形にして、同じように体積を求め、二分の一にするのをお忘れなく。（反転して重ねて四角形にしているため）

素人考えですので正確性に欠くかも知れませんが、参考までに。

No.4 回答者： debut 回答日時： 2009/12/15 23:06

90mmの対辺でできた面(外側の面）を延長させていけば、底面の半径

が500mm、高さが2250mmの円錐ができます。
（高さｈは、相似の計算　ｈ：500＝(ｈ－90)：480より）
求める部分は、その体積からもともとなかった部分，つまり、
底面の半径が480mm高さが2160mmの円錐と、底面の半径が400mm高さが
90mmの円柱、を引いていけば求められます。
ｃｍ単位で
(1/3)*π*50^2*225-(1/3)*π*48^2*216-π*40^2*9　です。

No.5 回答者： info22 回答日時： 2009/12/16 11:04

#2です。

A#2では
上面の円の半径をa,底面の円の半径をb,円錐台の高さhの場合の
内部の詰まった円錐台の体積

　V2=(1/3)πh(b^2){1+(a/b)+(a/b)^2}　…(◆)

を求めました。

質問者さんの添付図が円錐台の図とはかけ離れていたり、問題文が明確でない為、中が中空なのかどうか、中空ならそのの残りの部分の壁の厚さも明記されていません。図の左の台形の図と右の円錐台の図の寸法の関係が明らかではありません。つまり円錐台の底面の半径b、上面の半径a、高さh,中空の場合はその中抜け立体を確定する為の寸法情報を明記下さい。
問題の円錐台の各部の寸法がはっきりしませんので、勝手に想定して実際の計算をしても意味がないので、文字で置き換えた式で求めました。
これなら、質問者さんの方でa,b,hを与えれば自由に計算できます。

中身が詰まった円錐台とした場合、底面の半径b=500mmのようですが、上底の半径a=80mm,高さh=90mmで良いでしょうか？
問題では底面の半径bしか確定していません。

右図の真ん中の白い円や左の下向き鍵括弧、一番外側の薄茶色の皮のような部分、などは円錐台の立体を表す描き方としては適当ではありません。
中空なら中空としてその寸法情報を書くべきだし、そうでなければ、円錐台らしい図を描いていただかないと、回答者の色々な憶測で形状を仮定して複数の解答が出てくる原因になります。問題文からは中が中空とは一切書いてありませんが、図の方が白く円形が中抜けしています。これが混乱の元です。
質問の問題文と正しい寸法や形状を示す図を書いていただけばこういうことは起こらないと思います。

正確な形状情報（寸法）を改めて書いていただけませんか？

No.6 回答者： naniwacchi 回答日時： 2009/12/16 11:56

体積の求め方は、一意ではないですね。

回転体の体積を求める方法として、「バームクーヘン法（俗称）」があります。
これは、回転体が「薄皮（バームクーヘンの年輪になっている一枚一枚）」を合わせたものであるという見方をします。
（高校数学でも応用として、この方法は使われます。）

半径：r、幅：dx（dxは微小）、高さ：yの「薄皮」の体積は、2πryと表されます。
yが xの関数であれば、積分することで体積を求められます。

いまの問題では、回転体の中心から右方向に x軸をとったとしてみれば

(1) y= 0 (0≦ x≦ 400)
(2) y= 90 (400≦ x≦ 480)
(3) y= 90- 90/20* (x- 480)= 2250- 4.5* x (480≦ x≦ 500)

と表すことができます。
3番目の式は、傾斜が 90/20であることから計算しています。

これを V= ∫2πxy dxに当てはめていきます。

(2)の体積
V2
＝ ∫[400→480] 2πx* 90 dx
＝ 6336000π[mm^3]

(3)の体積
V3
＝ ∫[480→500] 2πx* (2250-4.5x) dx
＝ 876000π[mm^3]

よって、求める体積は
V＝ V2+ V3＝ 7212000π[mm^3]≒ 2.266* 10^7[mm^3]

となります。


この他にも、台形の「重心」が求まれば、
（重心の移動距離）×（台形の面積）
＝ ２π（重心が描く円の半径）×（台形の面積）
からも体積を求めることができます。