放物線上の点を中心とし円周がＸ軸に接する円の内部にならない点の集まり

よろしくお願いします。

数ＩＡ～数ＩＩＢの範囲の問題です。

【問題】
放物線　ｙ＝ａｘ^2　（ａ＞０）　があります。
放物線上のある一点を中心とし、円周がＸ軸に接する円を描きます。
以上のルールで無数の円を描いたとき、どの円の内部にもならない点の集まりを図示しなさい。
ただし、ｙ＜０　の部分の図示は不要です。

という問題です。


＜私の考え＞
ｙ＝ａｘ^2　上の一点の座標を（ｘo，ａｘo^2）と置けば、円の方程式は、
（ｘ－ｘo）^2　＋　（ｙ－ａｘo^2）^2　＝　（ａｘo^2）^2
これで、中心が放物線上にあり、円周がＸ軸に接することは示せているはずです。
しかし、ここから先に進めません。
大学の理系卒なのに（恥）

一つの円の内部は、
（ｘ－ｘo）^2　＋　（ｙ－ａｘo^2）^2　＜　（ａｘo^2）^2
でよいと思いますが、この考え方は何となく題意から逸れた方向にいっているような気がします。

おわかりの方、いらっしゃいましたら教えてください。

No.1 ベストアンサー 回答者： noname#137826 回答日時： 2010/01/03 17:48

表記の都合上、y = ax^2 上の一点の座標を (t, at^2) とします。

すると、問題は、任意のtについて

(x - t)^2 + (y - at^2)^2 >= (at^2)^2

を満たすような x, y の範囲を求める、ということになりますね。
この不等式は

(1 - 2ay)t^2 - 2xt + x^2 + y^2 >= 0

となりますから、答えは 1 - 2ay > 0 かつ t についての放物線の頂点の値が0以上、ということで求まりませんか？

この回答へのお礼

ありがとうございます。
まだ自分で結論が出ていないので、いつかまた考えてみたいと思います。

お礼日時：2010/03/27 23:00

No.2 回答者： at9_am 回答日時： 2010/01/03 21:02

全部答えるとルール違反なのと、なんとなく計算ミスをしているような気がするので概略だけ。

距離に関して考えてあげれば良いと思います。
放物線より下でy>0の領域は明らかに円に含まれます。
また、y>=xとなる点、すなわち|x|>=aの領域も、必ず円の中に含まれることになります。

(p,q)が円に含まれない場合、放物線上の点の距離から、
(p-t)^2 + (q-at^2)^2 = (at^2)^2
を満たす t が存在しないことになります。
これをtについて整理すると、tについての二次式になりますから、あとは判別式に持ち込んで実数解が存在しない範囲を求めればよいことになります。

計算してみましたが、これを図示するの？というようなものになりました。因みに、計算間違いのような気がしますが、
a^2 (p+q)^2 - p^2 - q^2 < 0
となりました。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
まだ自分で結論が出ていないので、いつかまた考えてみたいと思います。

お礼日時：2010/03/27 23:00