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問題の解説に疑問があるので質問させていただきます。

問題文は、
「放物線y=x(二乗)+ax+2が、二点A(0,1)、B(2,3)を結ぶ線分と異なる2点で交わるときのaの値の範囲を求めよ」
です。
(「xの二乗」の出し方がわからないので文字表記です…)

解答の流れは、
直線ABの方程式と放物線の方程式からy消去(これをf(x)=0とおく)
→f(x)=0が0≦x≦2の範囲で異なる2実数解を持つときを調べる
→(i)D>0 (ii)D<軸のx座標<2 (iii)f(0)>0 (iv)f(2)>0 の4つを同時にみたすaの範囲を求める
となっています。

ここで疑問なのが、(iii)と(iv)でなぜ≧0ではなく>0なのか、です。
D>0であればf(0)=f(2)=0の場合もアリだと思ったですが…。なぜ不適切なのでしょうか?

よろしければ解答お願いいたします。

A 回答 (2件)

この手の問題は、変域の両端に等号がつく場合の処理は慎重にしなければならない。



f(x)=x^2-(1-a)x+1=0 だから f(0)=1.
従って、0<x≦2に異なる2つ実数解を持たなければならない。
(1) x=2の時。2a=-3より f(x)=(x-2)*(2x-1)=0となり条件を満たすから解の一部。
(2) 0<x<2に異なる2つ実数解を持つ時、判別式>0、f(0)>0、f(2)>0、0<軸<2 が条件になる。


(注)
x^2-(1-a)x+1=0 → x^2-x+1=-ax とすると、原点を通る傾き=-aの直線が 放物線:y=x^2-x+1と 0≦x≦2 の範囲で異なる2つの交点を持つ条件になる。
その方が、視覚的にも簡単な方法と思うが?
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
よく分かりました!
f(0)=1に注意していませんでした。
注記で書いていただいた解法もやってみましたが、
確かに視覚的に理解しやすかったです。

ところで解答には「-3/2〈x〈-1」と書かれてあり等号がないのですが、
答えは「-3/2≦x〈-1」であっているでしょうか?
質問を重ねて申し訳ありません。

お礼日時:2012/01/27 17:36

「異なる2点で交わるとき」だからじゃないの?



f(0)=f(2)=0なら、接しているだけだから。
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この回答へのお礼

解答ありがとうございます。

「(xを全実数としたとき)異なる2点で交わる⇔D>0」
「f(0)=f(2)=0だと、放物線が線分の両端点を通る」

だと思ったのですが…。違うんでしょうか?

お礼日時:2012/01/27 15:27

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