平面図形

図がなくてすみません
問　１辺が√２cmの立方体ABCDEFGHとOA＝OB＝OC＝OD＝√３cmである四角錐ABCDを合わせた立体OABCDEFGHがある。
（１）線分OEと線分AGの交点をIとする。このとき、線分AIの長さを求めなさい。　　答　√６/５cm

求め方がわかりません。教えてください。

No.2 ベストアンサー 回答者： debut 回答日時： 2010/01/10 19:57

断面ＯＡＥＧＣ（家の形）をかきます。

その図で、ＡとＣ を結びます。
ＡＣ とＯ Ｅの交点をＪとすると、ＡＪの長さがわかれば△ＡＪＩ∽
△ＧＥＩから、ＡＩが求められます。

準備
・△ＥＦＧで三平方からＥＧ＝２
・△ＡＥＧで三平方からＡＧ＝√６
・ＯからＡＣに垂線Ｏ Ｐを引けば、ＡＰ＝１なので、△Ｏ ＡＰで
　三平方からＯ Ｐ＝√２。つまり、△Ｏ ＰＪ≡△ＥＡＪということ
　つまり、ＡＪ＝1/2ということ

以上で、△ＡＪＩと△ＧＥＩの相似比は1/2：２から１：４。
したがって、ＡＩはＡＧ(=√６)を１：４にわけたときの１の方
だから、ＡＧを５等分したうちの１つ。
ということで√６/５となります。

やりかたは他にもあるでしょうが。

No.5 回答者： mychingoo 回答日時： 2010/01/11 00:59

　僕も計算は苦手てかハッキリ言って嫌いなので次のようなものしかできませんでした。

　求めたいのは線分ＡＩの長さですね？そこで線分ＡＧに注目します。するとＡＩ＝ＡＧ－ＧＩ。ピタゴラスの定理によりＡＧ＝√６　∴ＡＩ＝√６－ＧＩ・・・(1)。次にＧＩを含んだ式を作ります。ΔＧＡＥにおいてＧＩ／ＧＡ＝ＩＧ／ＡＥ　∴ＧＩ／√６＝ＩＱ／√２・・・(2)。今度はＩＱを含んだ式を作ります。ΔＯＥＰにおいてＩＱ／ＯＰ＝ＥＱ／ＥＰ。ピタゴラスの定理よりＩＱ／２√２＝ＥＱ／１＝ＥＱ・・・(3)。次はＩＱとＥＱを含んだ式を探します。そうすると、またΔＧＡＥにおいてＩＱ／ＡＥ＝ＧＱ／ＧＥ＝（ＧＥ－ＥＱ）／ＧＥ。ゆえにＩＱ／√２＝（２－ＥＱ）／２・・・(4)。
　わからないものが四つ、式が四つ。これで解けます。
　(3)式と(4)式からＥＱを消去してＩＱ＝４√２／５。これを(2)式に代入してＧＩ＝４√６／５。(1)式に代入してめでたくＡＩ＝√６／５が得られます。

No.4 回答者： mychingoo 回答日時： 2010/01/10 20:40

　ＯからＥＧへおろした垂線の足をＰとします。

するとΔＯＥＰとΔＡＥＧが出来上がります。問題はこの二つの三角形に限られてきます。
　次にＩからＥＧへおろした垂線の足をＱとします。ここまで来ればほとんど出来上がったようなものです。
　ΔＯＥＰとΔＥＩＲ、ΔＡＥＧとΔＩＱＧはそれぞれ相似です。中学生でしたらピタゴラスの定理くらいしか使えませんね？それだけでいいのです。後は計算あるのみです。
　この種の問題は(1)とにかく直角三角形を作る(2)後はピタゴラスの定理を用いるーこれで難なく解けます。習っていないことはテストには出ません。自信をもって臨んで下さい。もう一言付け加えればどのような直角三角形を作るかーここがミソです。

この回答への補足

二つの三角形が相似なのは理解できました。しかし計算の仕方がどうしてもわかりません。お願いします。

補足日時：2010/01/10 21:22

No.3 回答者： naniwacchi 回答日時： 2010/01/10 20:33

#1です。

＞線分AEと線分ACの交点
線分OEと線分ACの間違いでした。

失礼しました。

No.1 回答者： naniwacchi 回答日時： 2010/01/10 16:59

どこまで考えましたか？

というよりも、まず図は描けていますか？

(1)で出てくる点は、すべてある断面にあります。
その断面の図を描きます。
線分AEと線分ACの交点を Jとし、相似な三角形を 2組考えることで長さを求めることができます。

この回答への補足

図は問題には書いてあります。立方体の上の面が手前から左回りにABCD、底面がEFGHとなっています。
線分AEと線分ACとの交点はないのでJがどこになるのかわかりません。すみません、説明願いします。

補足日時：2010/01/10 19:17