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図がなくてすみません
問 1辺が√2cmの立方体ABCDEFGHとOA=OB=OC=OD=√3cmである四角錐ABCDを合わせた立体OABCDEFGHがある。
(1)線分OEと線分AGの交点をIとする。このとき、線分AIの長さを求めなさい。  答 √6/5cm

求め方がわかりません。教えてください。

A 回答 (5件)

断面OAEGC(家の形)をかきます。


その図で、AとC を結びます。
AC とO Eの交点をJとすると、AJの長さがわかれば△AJI∽
△GEIから、AIが求められます。

準備
・△EFGで三平方からEG=2
・△AEGで三平方からAG=√6
・OからACに垂線O Pを引けば、AP=1なので、△O APで
 三平方からO P=√2。つまり、△O PJ≡△EAJということ
 つまり、AJ=1/2ということ

以上で、△AJIと△GEIの相似比は1/2:2から1:4。
したがって、AIはAG(=√6)を1:4にわけたときの1の方
だから、AGを5等分したうちの1つ。
ということで√6/5となります。

やりかたは他にもあるでしょうが。
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 僕も計算は苦手てかハッキリ言って嫌いなので次のようなものしかできませんでした。


 求めたいのは線分AIの長さですね?そこで線分AGに注目します。するとAI=AG-GI。ピタゴラスの定理によりAG=√6 ∴AI=√6-GI・・・(1)。次にGIを含んだ式を作ります。ΔGAEにおいてGI/GA=IG/AE ∴GI/√6=IQ/√2・・・(2)。今度はIQを含んだ式を作ります。ΔOEPにおいてIQ/OP=EQ/EP。ピタゴラスの定理よりIQ/2√2=EQ/1=EQ・・・(3)。次はIQとEQを含んだ式を探します。そうすると、またΔGAEにおいてIQ/AE=GQ/GE=(GE-EQ)/GE。ゆえにIQ/√2=(2-EQ)/2・・・(4)。
 わからないものが四つ、式が四つ。これで解けます。
 (3)式と(4)式からEQを消去してIQ=4√2/5。これを(2)式に代入してGI=4√6/5。(1)式に代入してめでたくAI=√6/5が得られます。
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 OからEGへおろした垂線の足をPとします。

するとΔOEPとΔAEGが出来上がります。問題はこの二つの三角形に限られてきます。
 次にIからEGへおろした垂線の足をQとします。ここまで来ればほとんど出来上がったようなものです。
 ΔOEPとΔEIR、ΔAEGとΔIQGはそれぞれ相似です。中学生でしたらピタゴラスの定理くらいしか使えませんね?それだけでいいのです。後は計算あるのみです。
 この種の問題は(1)とにかく直角三角形を作る(2)後はピタゴラスの定理を用いるーこれで難なく解けます。習っていないことはテストには出ません。自信をもって臨んで下さい。もう一言付け加えればどのような直角三角形を作るかーここがミソです。

この回答への補足

二つの三角形が相似なのは理解できました。しかし計算の仕方がどうしてもわかりません。お願いします。

補足日時:2010/01/10 21:22
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#1です。



>線分AEと線分ACの交点
線分OEと線分ACの間違いでした。

失礼しました。
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どこまで考えましたか?


というよりも、まず図は描けていますか?

(1)で出てくる点は、すべてある断面にあります。
その断面の図を描きます。
線分AEと線分ACの交点を Jとし、相似な三角形を 2組考えることで長さを求めることができます。

この回答への補足

図は問題には書いてあります。立方体の上の面が手前から左回りにABCD、底面がEFGHとなっています。
線分AEと線分ACとの交点はないのでJがどこになるのかわかりません。すみません、説明願いします。

補足日時:2010/01/10 19:17
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