行列の指数関数について

Ｍをｎ次の正方行列でdetＭ≠０と仮定します。
このとき、exp(Ｓ)＝Ｍとなるｎ次正方行列Ｓは存在しますか？
理由ともに教えてください。

No.4 ベストアンサー 回答者： kabaokaba 回答日時： 2010/01/17 12:50

No.1です

＞ついでに質問ですが、det(Ｍ)＞0と仮定すると、題意のようなＳの存在を証明できるのでしょうか？

GL(n,R)は連結なのでさらにコンパクトか可解なら
たしか全射なんですが，
コンパクトではないですし，たぶん可解でもないので
全射にはならないと思います．
＃Lie群・Lie環の議論はもうほとんど覚えてないので
＃詳細はご自分でどうぞ

この回答へのお礼

皆さん、回答ありがとうございました。

お礼日時：2010/02/16 22:32

No.3 回答者： stomachman 回答日時： 2010/01/17 04:21

正方行列の対数については

http://ja.wikipedia.org/wiki/自然対数
にもちょこっと紹介があります。

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2010/01/17 01:12

I を単位行列とするときに, -I はあぶないかもしれない.

奇数次だともちろん det -I = -1 だからだめだけど, 偶数次でできるかなぁ?

No.1 回答者： kabaokaba 回答日時： 2010/01/17 00:18

det(exp(A)) = exp(tr(A))

だから（この式の証明は容易），
det(exp(A)) > 0 なのでだめ．

この回答へのお礼

回答、ありがとうございます。
確かにそうですね。

ついでに質問ですが、det(Ｍ)＞0と仮定すると、題意のようなＳの存在を証明できるのでしょうか？

お礼日時：2010/01/17 00:39