円の面積と 同じ直径の球の面積

質問１：
後者が４倍になることを　直感的に　示してください。


質問２：
同様に、円でなくて、正方形の面積と、同じ正方形で立方体を作ったときの立方体の面積（表面積）の倍数の関係を、円・球の表面積の関係と同系列的に説明できる場合は、お願いします。

No.4 回答者： sanori 回答日時： 2010/01/29 23:51

＞＞＞球をタマネギに置き換えるとか。

。。

前回回答の
「ちなみに、球の体積の式（４／３・πｒ^3）を別途求めて、それをｒで微分すると　４πｒ^2　になるという、逆の考え方もあります。」
がそれです。
Ｎｏ．３様のご回答も同じです。

しかし、球の体積を直感的に表すのが困難なのです。


＞＞＞そうした式で説明するのでなくて、もっと柔らかく考えたいのです。

前回回答の主文は、最初の３行だけです。
「もしも球の表面積を直感的に示せたらすごいです。」
が結論です。

「ちなみに」以降は、あくまでも、「ちなみに」です。

（とはいえ、微積分を知っている人向けには十分な「直感的な」説明だと思いますが。）

No.3 回答者： spring135 回答日時： 2010/01/29 08:33

球の体積は4πr^3/3から出発します。

ちょうど蜜柑の皮をむくように厚さΔrの表面部分を取り出してその体積ΔVを考えます。
ΔV=4πr^3/3-4π(r-Δr)^3/3=4π(3r^2Δr-3rΔr^2+Δr^3)/3
厚さΔrは非常に薄いのでΔr^3<<Δr^2<<Δr
よって（）の中の第２項、第３項は無視して
ΔV=4π(3r^2Δr)/3=4πr^2Δr
表面積Sは上の薄皮を厚さΔrで割って
S=4πr^2
これはたまたま半径rの円の面積の４倍である。

No.2 ベストアンサー 回答者： yanasawa 回答日時： 2010/01/29 05:05

＞質問１：

＞後者が４倍になることを　直感的に　示してください。

　野球のボール（硬球）の糸を抜いて、革を２枚とると、バカボンの「本官さん」の目のような形が２枚とれます。その１枚は、残った球の中心を通るように切断した円の面積２つ分に見えます。つまり２枚で４つ分です。これではダメ？


＞質問２：
＞同様に、円でなくて、正方形の面積と、同じ正方形で立方体を作ったときの立方体の面積（表面積）の倍数の関係を、円・球の表面積の関係と同系列的に説明できる場合は、お願いします。

　ということは、
　　正三角形の面積と正四面体の体積
　　正三角形の面積と正八面体の体積
　　正五角形と・・・
も同じく説明できなければなりませんね。それは無理でしょう。

No.1 回答者： sanori 回答日時： 2010/01/29 02:38

こんばんは。

円の面積は、小学校の教科書では図を使って直感的に示していますね。
しかし、もしも球の表面積を直感的に示せたらすごいです。
円錐や角錐の体積の公式は　１／３　という係数がつきますが、これも直感的に説明するのは無理だと思います。

ちなみに、私は若い頃、微積分をつかって自力で球の表面積を求めたことがありましたが、
教科書に書いてあるとおりの４πｒ^2 という結果が出たときには感動したものです。

下記は、以前のＱ＆Ａに投稿した文章からの抜粋です。
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地球儀のイメージで考えるとわかりやすいです。
θは緯度、φは経度と考えます。
地表において、
θは、－９０度（南緯９０度）～＋９０度（北緯９０度）の範囲です。
φは、－１８０度（西経１８０度）～＋１８０度（東経１８０度）の範囲です。

ラジアンに書き直せば、
θの範囲：　－π／２～＋π／２
φの範囲：　－π～＋π
です。

θ（緯度）を固定して考えますと、φを－π～＋πの範囲で振れば、φの軌跡は円になります。
その、一つの円の半径は、ｒ・cosθ
したがって、一つの円周の長さは、２πｒ・cosθ　で、
その幅（太さ）は、微小なθ幅である　ｒｄθ　です。
つまり、一つの円周の面積は、２πｒ・cosθ・ｒｄθ　です。
球の表面は「一つの円周」の集合体ですから、
この円周を全部足せば、つまり、
この円周を、θ＝－π／２～＋π／２　の範囲で積分すれば、球の表面積になります。

表面積を求めるのですから、ｒは定数として扱うことができます。

∫２πｒcosθ・ｒｄθ　＝　２πｒ^2・∫cosθ・ｄθ
　＝　２πｒ^2［sinθ］　（θ＝－π／２→＋π／２）
　＝　２πｒ^2・（１－（－１））
　＝　４πｒ^2

これで球の表面積が求まりました。

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ちなみに、球の体積の式（４／３・πｒ^3）を別途求めて、それをｒで微分すると　４πｒ^2　になるという、逆の考え方もあります。

この回答へのお礼

そうした式で説明するのでなくて、もっと柔らかく考えたいのです。

回答ありがとう。

球をタマネギに置き換えるとか。。。

お礼日時：2010/01/29 23:24