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≪問題≫aを正の定数として,座標平面上に
円C:(x-a)^2+y^2=36
放物線C':y=x^2がある。
(1)C'とCが共有点をもたないようなaの範囲を求めよ。
(2)点PがC'上,点QがC上を動くとき,線分PQの長さの最小値が24となるようなaの値を求めよ。

(1)は円が放物線に接するときのaの値を求めようと代入してみたのですが、答えが導き出せません^^;
(2)はP,Qを文字を使って,表していろいろ試してみたのですが^^;これも引っかかってしまって…


どなたかよろしくお願いします^^

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A 回答 (6件)

円と放物線が接するときの接点を(p,p^2)とすると、接線の法線はy=-(x-p)/(2p)+p^2だから、この法線とx軸との交点が円Cの中心になるのでa=p+2p^3


これから
(p-a)^2+(p^2)^2=4p^6+p^4=36
となって、とくべき方程式は
4p^6+p^4-36=0
だけど、#4で回答したときには気付かなかったが、これは
(p^2-2)(4p^4+9p^2+18)=0
となって
p^2=2
p=√2
が出てくる。だから
a>p+2p^3=√2+4√2=5√2

(2)の方もp=√6になるからa=13√6
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この回答へのお礼

ありがとうございました^^!

お礼日時:2010/02/04 20:47

(1)


円と放物線が接するときの接点を(p,p^2)とすると、接線の法線は、
y=-(x-p)/2+p^2
この法線とx軸との交点が円Cの中心になるので、
a=p+2p^2
よって、
(p-a)^2+(p^2)^2=5p^4=36
p=(36/5)^(1/4)≒1.638073
a=(36/5)^(1/4)+12/√5≒7.004636
以上より、共有点を持たないaの範囲は、
a>(36/5)^(1/4)+12/√5≒7.004636

(2)
(1)と同様に計算して、
5p^4=900
p=180^(1/4)≒3.662842
a=180^(1/4)+12√5≒30.49566
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この回答へのお礼

解き方がわかりました!!

お礼日時:2010/02/04 20:48

ちょっと解いてみたけど面倒だね。

もっと簡単にならないものだろうか?

(a-x)^2+x^4=36
が実数解を持たなければ良い、というところまではいいとして
(a-x)^2=36-x^4
a=x+√(36-x^4)
となって
f(x)=x+√(36-x^4)
の最大値よりもaが大きい範囲を求める。
f'(x)=1-2x^3/√(36-x^4)
だから、f'(x)=0のとき
2x^3=√(36-x^4)
4x^6+x^4-36=0
これをx^2についての3次方程式とすれば
x=1.411850784
が求まって
f(x)=7.071061406
が最大値だとわかる。従ってもとめる範囲はa>7.071061406

(2)
(1)は半径が6だけど、こちらは半径が6+24=30を考えればよいわけです。
(x-a)^2+y^2=900
として同じように計算すると
a=31.84336652
となった。
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この回答へのお礼

ありがとうございましたw

お礼日時:2010/02/04 20:48

 再び#1です。

最後まで解いたわけではなくあまり自信はないのですが。
(1)点(p、p^2)におけるC’の接線
(2)(1)と同じ傾きを持つCの接線
を比較したとき、(1)のy切片が(2)のy切片(二つあるうちの大きな方)よりも大きければCとC’は共有点を持たないのではないでしょうか?
 二番目の問題も上記の二つの接線の距離の最小値を24とおけばいけるような気がします。
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この回答へのお礼

ありがとうございます^^
上記を参考にして,解いてみます!!!

お礼日時:2010/02/04 12:08

#1です。

大ボケでした。申し訳ありません。考えなおします。

この回答への補足

本当に申し訳ありません。。。
自分がもっと詳しく書いておくべきでした。・゜゜・(≧д≦)・゜゜・。エーン!!

すみませんが…
よろしくお願いします^^

補足日時:2010/02/03 23:43
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この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時:2010/02/04 20:47

 C’とCが共有点を持つということは、Cの中心からの距離が6となる点がC’上に存在するということです。

C’上の点の座標を(p、p^2)としてこれを式で表すと
(p-a)^2+p^2=6
となり、これはpの二次方程式になりますので判別式<0でaの範囲が決まります。
 C’上の点Pを定めたとき、PQが最小になるのはPQの延長上にCの中心があるときです。したがってこの問題はPとCの中心の距離の最小値が30となると読み替えることが出来ます。この距離をLとすると
L=(p-a)^2+p^2
なのでLの最小値をaで表わすことができます。

この回答への補足

>C’とCが共有点を持つということは、Cの中心からの距離が6となる点がC’上に存在するということ>です。C’上の点の座標を(p、p^2)としてこれを式で表すと
>(p-a)^2+p^2=6
>となり、これはpの二次方程式になりますので判別式<0でaの範囲が決まります。

この部分なのですが、自分も同じように考えて
>(p-a)^2+p^2=6ではなく
(p-a)^2+p^4=36となってpの4次方程式になってしまって、pが実数解をもたなければいい、と判断したのですが、これの求めたがわかりません^^;
どうでしょうか??

補足日時:2010/02/03 22:00
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この回答へのお礼

ありがとうございました!

お礼日時:2011/07/23 21:56

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