接線 定点

放物線y=x^2の二本の接線gとhが点(a、-1/4b)で交わるとすると、2接線g、hの2つの接点を結ぶ直線は常にある定点を通ることを示すにはどうすればいいのでしょうか？教えてください

No.7 ベストアンサー 回答者： aries_1 回答日時： 2012/09/08 22:56

放物線とgとの接点をP(p,p^2)、hとの接点をQ(q,q^2)とおく。

なお、放物線y=x^2の接点は頂点、つまり点(0,0)を除いてx軸の正の部分と負の部分に必ず1カ所ずつ存在する。
ただし、頂点を接点とする接線の方程式はy=0となるため、点(a,-1/4)を通らないので本問では不適。

y=x^2を微分してy'=2x
これより接線gの方程式は
y=2px-p^2
接線hの方程式は
y=2qx-q^2
この2式を連立すると、2接線の交点は((p+q/2,pq)
これが(a,-1/4)に等しいので、pq=-1/4…(1)

また直線PQの方程式をy=ax+bとおき、接点の座標を代入すると、
p^2=ap+b
q^2=aq+b
この2式を連立して解くと、a=p+q、b=-pq
よってPQの方程式は、y=(p+q)x-pq
ここで(1)よりpq=-1/4なので、PQは定点(つまり直線の切片)1/4を通る。

この回答へのお礼

分かりました
ありがとうございました

お礼日時：2012/09/09 09:39

No.9 回答者： 178-tall 回答日時： 2012/09/09 07:12

>Aは、微分して傾きが2xなのがわかって、gの接点のx座標がx1だから2x1ですよね hも同様にA=2x2ですよね

y = Ax + B は接線じゃありません。

二接点 (x1, x1^2), (x2, x2^2) を通る直線。あらためて A, B を勘定せねばなりません。

　　　

この回答へのお礼

そうだったんですか
すみません、ありがとうございました

お礼日時：2012/09/09 09:41

No.8 回答者： ferien 回答日時： 2012/09/09 00:55

＞放物線y=x^2の二本の接線gとhが点(a、-1/4b)で交わるとすると、2接線g、hの2つの接点を結ぶ

＞直線は常にある定点を通ることを示すにはどうすればいいのでしょうか？
接線ｇの接点を（ｘ1，ｘ1^2）ｈの接点を（ｘ2，ｘ2^2）ｘ1＜ｘ2　とすると、
接線の傾きは、ｙ'＝２ｘより、
ｇ：ｙ－ｘ1^2＝２ｘ1（ｘ－ｘ1）
ｈ：ｙ－ｘ2^2＝２ｘ2（ｘ－ｘ2）２直線の交点を求めると、
２ｘ2（ｘ－ｘ2）＋ｘ2^2＝２ｘ1（ｘ－x1）＋ｘ1^2
２（ｘ2－ｘ1）ｘ＝ｘ2^2－ｘ1^2
２ｘ＝ｘ1＋ｘ2より、ｘ＝(1/2)（ｘ1＋ｘ2）　
ｇの式へ代入して、
ｙ－ｘ1^2＝２ｘ1｛(1/2)ｘ1＋(1/2)ｘ2－ｘ1｝
ｙ＝ｘ1ｘ2
交点（(1/2)（ｘ1＋ｘ2），ｘ1ｘ2）（ａ，－1/4）は交点だから、
(1/2)（ｘ1＋ｘ2）＝ａ，　ｘ1ｘ2＝-1/4　……（＊）
接点を結ぶ直線の傾きは、
（ｘ2^2－ｘ1^2）／（ｘ2－ｘ1）＝ｘ1＋ｘ2　だから、
接点を結ぶ直線の式は、（ｘ1，ｘ1^2）を通るから、
ｙ－ｘ1^2＝（ｘ1＋ｘ2）（ｘ－ｘ1）
（＊）を代入して、
ｙ－ｘ1^2＝２ａｘ－ｘ1^2－ｘ1ｘ2より、
よって、ｙ＝２ａｘ+（1/4）
よって、2接線g、hの2つの接点を結ぶ直線は、定点（０，1/4）を通る。

この回答への補足

ｙ＝２ａｘ+（1/4）
から
定点（０，1/4）を通る
のがわかるのはなぜですか？

補足日時：2012/09/09 09:40

No.6 回答者： 178-tall 回答日時： 2012/09/08 18:04

>二本の接線 g, h の接点は (x1, x1^2), (x2, x2^2) のはず。

この二点を結ぶ直線 y = Ax + B は、

(いろいろ手はあるが、一例))
　x1^2 = Ax1 + B
　x2^2 = Ax2 + B
ということなので、例えば両式の差から、
　x1^2 - x2^2 = A(x1 - x2) → A = x1 + x2
これを両式のどちらにか入れてみる。例えば、
　x1^2 = (x1 + x2)*x1 + B → B = -x1*x2
　　　↓
>　y = (x1 + x2)x - x1*x2

>さて、二接点を結ぶ直線が必ず通る「定点」は、ほかに無いのだろうか？

これは、ほとんど与太話。偉ぶってるセンセイのパロディでした。
傾斜が異なる直線同士に、共有点は一つしか無い。

　　　

この回答への補足

Aは、微分して傾きが2xなのがわかって、gの接点のx座標がx1だから2x1ですよね
hも同様にA=2x2ですよね
A=x1+x2=2x1=x2
x1=x2ということになってしまいませんか？

補足日時：2012/09/08 20:41

No.5 回答者： 178-tall 回答日時： 2012/09/08 16:27

>放物線y=x^2の二本の接線gとhが点(a、-1/4)で交わるとすると、2接線g、hの2つの接点を結ぶ直線は常にある定点を通る…

放物線 y=x^2 にて、x = x1, x2 における接線は、
　y = 2x1*x - x1^2　　…(g)
　y = 2x2*x - x2^2　　…(h)
と表せる。

(g) と (h) の交点は [x, y] = [(x1 + x2)/2, x1*x2} らしい。
x1*x2 = -1/4 というのが「問題の前提」。

二本の接線 g, h の接点は (x1, x1^2), (x2, x2^2) のはず。
この二点を結ぶ直線 y = Ax + B は、
　y = (x1 + x2)x - x1*x2
と表せそう。
「問題の前提」から、二接点を結ぶ直線は、
　y = (x1 + x2)x + (1/4)

これを見ると、x=0 にて y=1/4 を通る。
さて、二接点を結ぶ直線が必ず通る「定点」は、ほかに無いのだろうか？

　　　

この回答への補足

二本の接線 g, h の接点は (x1, x1^2), (x2, x2^2) のはず。
この二点を結ぶ直線 y = Ax + B は、
　y = (x1 + x2)x - x1*x2
と表せそう。

なぜこう表せるのですか？

さて、二接点を結ぶ直線が必ず通る「定点」は、ほかに無いのだろうか？

これ以外の点はx=0のとき通らないので(0,-1/4)しかなさそうですが、どう示すのでしょうか？

補足日時：2012/09/08 16:43

No.4 回答者： shintaro-2 回答日時： 2012/09/08 15:47

接線gをｙ＝gｘ＋cとおくと、

-b/4=ag+cが成り立ち、

y=x^2と
y=gx+cとは接するのですから
連立方程式は重根を持ちます。　
　重根が接点

接線ｈをy=hx+dと置くと
-b/4=ah+dが成り立ち、

y=x^2と
y=hx+dとは接するのですから
連立方程式は重根を持ちます。　
　重根が接点

接点の座標が求まりますから、接点を結ぶ直線も出ますよね
多分、その式を見れば答えが思い浮かぶはず

この回答への補足

すみません、(a、-1/4b)ではなく(a、-1/4)の間違いです

補足日時：2012/09/08 16:17

No.3 回答者： shintaro-2 回答日時： 2012/09/08 14:48

＃２です

ごめんなさい間違えました。

点(a,-1/4)を通る接線の式はどうなりますか？

その接線がy=x^2と接する点（接点）の座標はどう表されますか？

接点を結んだ直線はどんな式ですか？

最後が求まれば、自ずから答えがでるような気がするのですが？

この回答への補足

点(a,-1/4)を通る接線の式はどうなりますか？→y=-1/4

その接線がy=x^2と接する点（接点）の座標はどう表されますか？→グラフからもわかりますが、xが虚数になるので接点はなし

接点を結んだ直線はどんな式ですか？→すみません、わかりません



説明お願いします

補足日時：2012/09/08 14:59

No.2 回答者： shintaro-2 回答日時： 2012/09/08 14:13

>接線g、hの2つの接点を結ぶ直線は常にある定点を通ることを示すにはどうすればいいのでしょうか？

接線ｇ、ｈを示す式を作成し、

それらを連立方程式として解くと、
ある解が得られます。

その解が物理的にどのような意味を持つのかお考えください。

この回答への補足

2接線の交点ですよね
しかし、今回は2接点の接点を結んだ直線が通る定点ですので、関係がないように見えます
関係あるのでしょうか？

補足日時：2012/09/08 14:23

No.1 回答者： LHS07 回答日時： 2012/09/08 13:57

問題文の通りに誠実に忠実に式化すればいいのです。

なんにも難しいことはありません。

教科書を大切にして何回も何回も何回も読んできたのでしょうか？

読んだ回数だけ理解し応用力もついてきます。

とはいってもこれは基礎問題です。

二本の接線の式を書いてその交点を求めて、ｘ座表はaでしょ？

ｙ座標はわかりますか？

あなたならわかりますね。

この回答への補足

すみません
点(a、-1/4b)ではなく点(a、-1/4)でした

y座標は-1/4ですが、これからどうすればいいのでしょうか？

補足日時：2012/09/08 14:07