数学の問題なんですが、テキストを読んでいてわからないところがあったので

数学の問題なんですが、テキストを読んでいてわからないところがあったので誰か教えて下さい。
以下、の内容です。
「素数Pのｒ乗（以後Prと表記します。）について１からPrまでの数でPrと共通の約数をもつ数は
　P、2P、、、Pr　とでPｒ－１個（Pのr－１乗個の意）あります。」
　とかかれているんですが、これはどのような考え方で共通約数の個数を導いているのでしょうか？？
　教えて下さい。

No.3 ベストアンサー 回答者： naniwacchi 回答日時： 2010/02/05 00:15

#2です。

少し表現がおかしいところがありましたので、訂正も含めて補足します。

＞「pを少なくとも 1つを因数に持っていれば、その数は共通の約数をもつ」
「pを少なくとも 1つ因数に持っていれば～」ということです。
式で書くと、「k*pの形になっていれば、その数は共通の約数をもつ」ということになります。
このとき、kの値は
k= 1, 2, 3,・・・, p-1, p, p+1,・・・, p^2-1, p^2, p^2+1,・・・, (p-1)p^(r-2), p^(r-1)
のようになります。

そして、
＞「pの倍数の係数」を考えるようにすれば、
＞「1～ p^(r-1)までの数の個数は何個ありますか？」
とは、この kがぜんぶでいくつあるかということになります。
1から順番に自然数を数えているだけですので、答えは最後に出てくる p^(r-1)ということになります。

kは「pの倍数の係数」にあたるということで、このような表現にしていました。

この回答へのお礼

お礼が遅くなり申し訳ありません。
親切な回答ありがとうございます。
プリントアウトして本に貼り付けたいと思います。

お礼日時：2010/03/13 04:19

No.2 回答者： naniwacchi 回答日時： 2010/02/04 14:08

文字ばかりで少し混乱してしまいますね。

以下、「pの r乗」は p^rと表すことにします。（よくこの形で表されますので）

p^rは「素数：pが r個掛け合わされている」ということですから、
共通の約数をもつ数は「pのなんとか乗」の倍数ということがわかると思います。

具体的に書いてみると、
pや 2p、p^2や 3*p^2、p^(r-1)や 2*p^(r-1)
これらはすべて共通の約数をもっています。

よくよく考えてみると、
「pを少なくとも 1つを因数に持っていれば、その数は共通の約数をもつ」
ことがわかります。
つまりは、p^r以下の pの倍数の個数を数え上げればよいことになります。

イメージとして書きならべてみると、下のような感じになります。
p, 2p, 3p, ・・・, (p-1)p, p^2, (p+1)p, ・・・, (p^2-1)p, p^3, (p+1)p^2, ・・・, (p-1)p^(r-1), p^r


改めて「p～ p^rまでの数の中で、pの倍数は何個ありますか？」と聞かれれば、

「pの倍数の係数」を考えるようにすれば、
「1～ p^(r-1)までの数の個数は何個ありますか？」というのと同じになります。

よって、求める個数は p^(r-1)となります。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2010/02/04 13:44

p を素数と仮定しているので p^r の約数は 1, p, p^2, ..., p^(r-1), p^r. つまり「p^r と (1 でない) 公約数を持つ」なら p の倍数だ. そして, 連続する p 個の整数の中に p の倍数は必ず 1個だけ存在する.

「共通約数の個数」は違う意味にとりそう.

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
御礼が遅くなり申し訳ありません

お礼日時：2010/03/13 04:24