Blue Backs「パソコンで挑む円周率」で教えられたのですが、世界で最初に円周率を計算により求めたのはアルキメデスとのことです。彼は円に内接・外接する正96角形の周の長さから円周率の近似値を計算し、3.14までは正確に求めたとのことです。
大変ためになる情報ですが、残念ながら私には正96角形の周の長さを求めるやり方が分かりません。アルキメデスは三角関数を知っていたのですか?
三角関数を知っているとしても、それを計算できたのでしょうか。
たぶん簡単なやり方があるのでしょうが、どなたか親切な方、教えてください。
No.3ベストアンサー
- 回答日時:
#2fushigichanです。
お返事ありがとうございます。>正12角形の場合は角AOC=30°なのでx=1/2と分かるのですが、正24角形は15°ではxは何になるのですか。
角AOC=30度であるから、と書いちゃったので
角度からしか求められないように誤解を与えてしまったみたいで、すみません。
もう一度、正12角形に戻ります。
二等辺三角形の頂角の二等分線(ここでは、線分OM=OC)は
底辺を二等分する、ということが分かっていますから
AM=BM
また、
AB⊥OM=OCですね。
ここで、三角形AOMと三角形CAMでそれぞれ
ピタゴラスの定理を使います。
三角形AOMにおいて、
AM=1/2AB=1/2←この時点で、もうxは求まっています。
あとは、MC=yとおいたので、
OA^2=AM^2+OM^2
1=(1/2)^2+(1-y)^2
これを解けば、yが求まります。
次に、三角形CAMにおいて、同様にピタゴラスの定理より
CA^2=AM^2+CM^2
a^2=(1/2)^2+y^2
ここに、先程求めたyの値を代入してやれば、aの値も求まります。
これによって、12a=内接正12角形の周囲
と求められます。
これをさらに2等分、2等分・・としていくと
同様に正多角形の周囲が求められていくと思います。
ちょっとやってみます。
先程の12角形の12分の1の三角形は、三角形OACでした
便宜上、AC=aのままとします。
角AOCの二等分線は、線分ACと直交し、二等分するので
線分ACの中点をNとします。
ONの延長線と円の交点をDとします。
今度は、AD=bとおいて、bの値を求めれば
これは正24角形なので、24b=正24角形の周囲、となりますね。
OA=OC=1
AC=aより、AN=a/2
ND=xとおくと、
三角形AONにおいて、
1^2=(a/2)^2+(1-x)^2・・・(1)
三角形DANにおいて、
b^2=(a/2)^2+x^2・・・(2)
まず、(1)の式から、xが求められますね。
そのxの値を(2)に代入することで、bも求められます。
ここでaというのは、先程求めた正12角形のACの長さです。
このように、順番に、二つの三角形の
ピタゴラスの定理だけで、長さを確定していくことができます。
これを繰り返してアルキメデスは正96角形までを計算したんですね。
ご参考になればうれしいです。
fishigichanさん、こんにちは。
すごくよく分かりました。なるほど、そういう手順があるのですね。
それにしても、すごく面倒な計算になりますね。計算できることは判りましたが、実際に計算するには根気が必要ですね。正24角形まではやってみましたが、その先はあきらめました。これではアルキメデスにはなれませんね。
(^^;;
あらためてアルキメデスの偉大さを思い知らされました。
大変ありがとうございました。
No.2
- 回答日時:
goal314さん、こんばんは。
大変面白い話題でしたので、調べてみました。
アルキメデスは紀元前の人なので、三角関数は用いなかったと思います。
参考URLによると、最初は円に内接する正六角形を作図し、
また、外接する正六角形とのそれぞれの外周から円周率の範囲を考えたようです。
例えば、半径1の円周は2Πですが、
内接正六角形の外周は、6
外接正六角形の外周は、4√3
これより、
6<2Π<4√3
3<Π<2√3
のようにして、まずΠの範囲を大体考えたようです。
それから、六角形を12角形にすることで、さらに精度を上げていったと思われます。
例えば、最初の正六角形の6つの正三角形を、三角形OABとします(原点O)
すると、12角形にするには、ABの中点Mを通って
Oから円周上に点Cを取れば
OA=OB=OC=1
AB⊥OCとなるので、
AC=BC=a,
AM=BM=x
MC=yとすると、
三平方の定理より
1^2=x^2+(1-y)^2
a^2=x^2+y^2
ここで、角AOC=30°であるからx=1/2
(1-y)^2=1-(1/2)^2=3/4
1-y>0より、1-y=√3/2
y=1-√3/2
a^2=x^2+y^2=(1/2)^2+(1-√3/2)^2=1/4+1-√3+3/4
=2-√3
a>0より、a=√(2-√3))
したがって、正12角形の外周は
12a=12√(2-√3))
のようにして求めていったのではないかな、と思います。
アルキメデスって、すごい頭いいですね!
こんなことを発見するなんて、天才だと思いました。
参考URL:http://www1.fctv.ne.jp/~ken-yao/Paipai.htm,http: …
この回答への補足
fushigichanさん、こんにちは。
分かりやすく教えていただき、ありがとうございます。
ただ、どうも私の理解力が足りないようで、もう少し教えていただきたいのです。
正12角形の場合は角AOC=30°なのでx=1/2と分かるのですが、正24角形は15°ではxは何になるのですか。
正48角形は7.5°でxは???ということなのです。私は電卓の三角関数を使う方法しか知りませんので、この先の計算が出来ないのです。
そのあたりの点をもう少し教えていただけないでしょうか。
No.1
- 回答日時:
reallyさん、こんにちは。
大変参考になるHPをご紹介下さり、ありがとうございました。さすがネット上にはいろいろ有益なサイトがあるのですね。
今後もいろいろ教えてください。
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