A 回答 (4件)
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No.4
- 回答日時:
森毅の「ベクトル解析」なら、
安価で、内容も平易かなあ。
n 次正方行列が行列であることを放棄して、
単なる n~2 次元ベクトルと見てしまえば、
その意味で普通に微分することはできます。
そのとき出てくる偏微分係数は、
∂Fij/∂Aij だけではなく、
∂Fij/∂Akh という n~4 個になる。
これを、n~2 次正方行列の形に並べて
dF = (∂F/∂A) dA と書くこともできるけれど、
右辺の dA は、n 行 n 例ではなく、
n~2 行 1 例の行列と見なしたことになります。
No.3
- 回答日時:
世の中新しいものを定めるのは大変なことで・・・
n x m 行列の集合をノルム空間とみなすことで
微分は定義されてたりします.
Fr\'eche微分ってのを調べてみてください.
一般にノルム空間からノルム空間への写像に対して
定義されます.
書籍としては,
Spivakの「多変数の解析学」
が秀逸かと(200pもない薄い本だけども,易しい本ではない).
ただし,この場合「行列の集合」の代数的な側面は
ぶっちゃけた話,無視されるといえますし,
一変数のときのようにはなりません
#Fr\'eche微分は「全微分」の拡張というほうが正しい
だから計算規則はそれなりに違うところがあります.
ちなみに
単純に関数が行列の成分で
各成分ごとに微分するというのであれば
普通に使われてます.
まあ,どういうのをもって「行列の微分」といってるのか
定義が明確にならないとお話しは先に進みません.
ちなみに
具体的な演算の仕方だけが定義ではないわけど
目的とする演算にどのような性質があってほしいのか
という性質を列挙することでとりあえず定義して,
そのような演算が実際に存在しうることを示すってのも
演算の定義の常套手段です.
今回の場合,X=M(n,m)をn x m行列全体の集合として
線型写像D:X->Xで以下のような性質を持つものを考える
D(AB)=AD(B)+D(A)B
D(A^n)=nA^{n-1} (nは2以上の自然数)
D(A)=E
D(E)=0
D((A^{-1})^n) = -n(A^{-1})^(n+1) (1は2以上の自然数)
さて。。。こんな線型写像は存在するんでしょうか
それは考えてないので分かりません(^-^;
一意に存在すれば,それを「微分」なんて名前にしても
悪くはないかもしれません.
No.2
- 回答日時:
こんばんは。
行列の微分とは、面白い発想ですね。
このような理論があるのでしょうか?
もしないのであれば、新しい理論として意味を成すといいですね。
ですが、定義がよくわかりません。
>また,行列Aによる微分というのは
d/dA = (d/dA_ij)ijのように定義するものとする場合ですとどうなるでしょうか?
例として、2次の正方行列で具体例を示してください。
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