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ちょっとわからないので質問します。
あるばね定数kのばねの一端が天井に固定されていて、質量mの重りが付けられています。
1、ばねが自然長になるまで手で支え急に手を離すとおもりは振動し始めた。
2、手で重りを支えながら下ろしていくとばねは伸びてある高さで重りは静止した。
1、2、でなぜこのような違いが生じるのか、仕事とエネルギーの考え方から説明しなさい。

わかりそうでわかりません。。。
どうかお答えできる人はお願いいたします。

A 回答 (4件)

ポイントは,



1では重力のみがおもりに仕事をしており,したがって重力による位置エネルギーがつりあい位置において運動エネルギーに変わる

のに対して,

2では手が支える力(抗力)が,おもりに対して負の仕事をしており,重力による仕事と相殺して,結果的に,つりあい位置における運動エネルギーはゼロになる

という点にあります。2では,おもりが移動するときに力はつりあっていると考えてよいので,ゼロである合力がする仕事がゼロであり,その結果が運動エネルギーゼロ・・・ということですね?

この手の問題が,わかりそうでわからないというのは,実はわかっていないのだと自覚してください。物理では,もっとも基礎的な問題が,もっとも難しく感じられることがよくあります。そういった場合に,たいてい「わかったつもり」が本質的な理解にいたっていないことが多いのです。みんなそういう思いをするので,がっかりすることはありませんが,こうした問題をしっかりつきつめて考えることは,本質的な理解のために避けて通れないわけですから,しっかり悩んでください。
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No.1です。

ばねの弾性力について,つりあいと仕事に含めるのをすっかり忘れましたね。^^; ごめんなさい。No.2でフォローされていると思いますので,そこんところよろしくです。
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難しい回答がなされているようですが答えはかんたんです。



おもりをつるすと、その分ばねは自然長よりのびますよね。つまり自然長で離したと言う事はまだまだばねは伸びきってない、ばねのエネルギーとおもりの位置エネルギーが釣り合う点より上から落としたということです。
同然ばねは振動をはじめます。
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 おもりにされる仕事とおもりの得るエネルギーの関係で考えます。



 1では、おもりに働く力は重力とばねの弾性力です。自然長からおもりが下がって行く時、重力>弾性力 となっている間は正の仕事がされ、おもりの運動エネルギーが増えます。ばねの上向きに引く力は負の仕事をしますが、重力より小さいので、おもりになされる正味の仕事は正になり、おもりの運動エネルギーは増え続けます。
 つりあいの位置(重力=弾性力 の位置)まで来ると、おもりに働く力が0になりますが、運動エネルギーを持っているのでそのまま下方への運動を続けます。つりあいの位置を過ぎると、重力<弾性力 となり、弾性力による負の仕事が大きくなり、おもりの運動エネルギーは減ります。やがて振動の最下点に来ると弾性力によって引き戻され、これがくりかえされて振動を続けます。


 2では、おもりが下がっていく時、重力=弾性力+手の支える力 となっており、おもりに対してばねの他に手が負の仕事をします。つまり重力のする仕事の一部は、手による負の仕事に奪われ、おもりは運動エネルギーを得ることができません。
 そして、つりあいの位置まで下がると、運動エネルギーのないおもりはそこで静止することになります。

 ということでどうでしょう。
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重りの重力がした仕事(W1)と、手が重りにした仕事(W2)、バネの弾性力がした仕事(W3)を出す問題なのですが、力のつり合いから出す答えと力学的エネルギーの保存則から出す答えが自分の中で一致しなくて困っています。

力のつり合いから考えると、mg=kxでバネの伸びはx=0.2mとなります。なので重りの重力がした仕事はW1=Fx=mgx=0.98*0.2=0.196、手が重りにした仕事とバネの弾性力がした仕事はこの仕事と等しいはずで、なおかつこの二つの仕事は同じだけの仕事量のはずですから、W2=W3=0.98と出ます。これはこの問題の答えと合致します。
力学的エネルギーの保存則からこの問題を解くと、初めの状態での重りの位置エネルギーを0Jとしておくと、最初の状態は弾性エネルギーもないので力学的エネルギー(E1)は0です。手を離してからの状態は位置エネルギーが-mgxに弾性エネルギー1/2kx^2であり、力学的エネルギー(E2)は-0.98x+2.45x^2となり、E1=E2としてxを解くとx=0.4mとなってしまい、各仕事もずれてしまいます。

上記の論理はどのポイントで勘違いしているのか教えて頂けると助かります。
よろしくお願いします。

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Aベストアンサー

「手が重りにした仕事(W2)」が計算に抜けていますね。
「初めは手によってバネが自然長の状態になるところまで重りが持ち上げられて」の時点で、手には重りからの力がかかっています。
重りは、手に力をかけながら移動するわけですから、その分仕事をしていて、
その仕事の分、力学的エネルギーは減っていきます。

ここで立てられる式は、
・W1+W2+W3=0
・W1=-mgx
・W3=1/2 kx^2
であり、ここから、W2を求めることができる、というのが問題主旨でしょう。

これに「力のつり合いから考えると、mg=kxでバネの伸びはx=0.2m」を代入することで、W1~W3が求まります。

このとき、
・W1=重りの位置エネルギー: mgh = 0.1×9.8×-0.2=-0.196J
・W2=手に対してした仕事: 0.098J
・W3=バネの弾性エネルギー: 1/2 k x^2 = 0.098J
で、エネルギーの収支は合う、ということになります。

ここで、W2とW3は今回はたまたま一致していますが、「この二つの仕事は同じだけの仕事量」とはかぎりません。計算過程でW2=W3と仮定してはダメです。
細かい計算は省きますが、たとえば「重りを0.1mだけ下げた」場合は、W1=-0.098J、W2=0.0735J、W3= 0.0245J になります。(どの段階でも、エネルギー保存則からW1+W2+W3=0は成り立ちます)

「手が重りにした仕事(W2)」が計算に抜けていますね。
「初めは手によってバネが自然長の状態になるところまで重りが持ち上げられて」の時点で、手には重りからの力がかかっています。
重りは、手に力をかけながら移動するわけですから、その分仕事をしていて、
その仕事の分、力学的エネルギーは減っていきます。

ここで立てられる式は、
・W1+W2+W3=0
・W1=-mgx
・W3=1/2 kx^2
であり、ここから、W2を求めることができる、というのが問題主旨でしょう。

これに「力のつり合いから考えると、mg=kxでバネの伸び...続きを読む

Q垂直抗力=0のときって?

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Aベストアンサー

私も等号を含めるか含めないかについては
どうでもいいと思います。
(特に力学のように工学に密接した分野においては)

垂直抗力>0としたら解けなかった、とありますが、
これも気持ち次第じゃないでしょうか。

斜面上を運動する条件は垂直抗力>0と信じていたとしても、その極限として垂直抗力=0を考えて
この問題を解く、と割り切ればいいのです。
出題者も、そこまで厳密に考えているとは
思えないですよ。

ちなみに私の考えでは、垂直抗力=0は、現実問題
としては、斜面に少なからず凹凸があり、
小球は斜面から離れると思います。
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その極限を私はイメージします。
もっとも、これは極限だから、実際にはありえないでしょうけど。

もし工学的に応用したいのであれば、
いくらかの余裕(マージン)を見ておけば
実用上問題ないでしょう。

私も等号を含めるか含めないかについては
どうでもいいと思います。
(特に力学のように工学に密接した分野においては)

垂直抗力>0としたら解けなかった、とありますが、
これも気持ち次第じゃないでしょうか。

斜面上を運動する条件は垂直抗力>0と信じていたとしても、その極限として垂直抗力=0を考えて
この問題を解く、と割り切ればいいのです。
出題者も、そこまで厳密に考えているとは
思えないですよ。

ちなみに私の考えでは、垂直抗力=0は、現実問題
としては、斜面に少なからず...続きを読む

Qばねの仕事と弾性エネルギーの関係について

・ばねを伸ばす(縮める)のにした仕事=ばねの弾性エネルギーの増加分
・ばねが外にした仕事=弾性エネルギーの減少分

というのを習ったのですが、これでつまづいてしまいました。


ばねの先端に質量mのおもりPを取り付け、他端を天井に取り付け、全体を吊り下げて静止させた。重力加速度の大きさをg、ばね定数をkとする。

この状態からPに下向きの力を加え、ゆっくり距離aだけ引き下げ、ここで手でおさえておく。この間のばねの弾性エネルギーの増加量をUとする。
このときPに下向きに加えた力が物体Pの下方の変位の間にした仕事をWとすると、Wはいくらか?

正解
W=-mga+U

とあったんですが、なぜ上で書いたようにいかないのでしょうか?実際に力学的エネルギー保存でやるとこうなるのはわかったのですが、「仕事=弾性エネの増加」という関係にたどりつかないのがわかりません。結果から見て位置エネルギー(-mgaという)が入ってるわけですから、上で書いたことは必ずしも成り立たないということでしょうか?アドバイスよろしくおねがいします。

Aベストアンサー

・ばねを伸ばす(縮める)のにした仕事=ばねの弾性エネルギーの増加分
「ばねを伸ばす(縮める)のにした仕事」ですよね?
この場合地面垂直方向にPを動かしてやったのだから
Wは「ばね」だけにした仕事ではないです。
ばねに仕事をしないと、ばねはエネルギーを吸収も放出もしないです。
たとえば1つのばねがあり、それとは別の位置にコップ一杯の水が有ったとします。
今水にW=100ジュールの熱を加えたとき、ぜんぜん関係の無いばねがその100ジュールを吸収するでしょうか?
-mgaはPの位置を変えるのに使われたエネルギーであってばねはまったく関係ありません。
ばねを水平に置いて同様のことををすると位置エネルギーが変わらないので、「仕事=弾性エネの増加」となりますが(空気抵抗その他無視でですけど)

Qばねによる弾性エネルギーと力学的エネルギー。

上端を固定したばねに、質量mのおもりをつけた。おもりを自然長の位置から静かに下げていくと、のびがaのときにつり合った。重力加速度の大きさをg、重力による位置エネルギーの基準点を自然長の位置とする。
(1)つり合いの位置での力学的エネルギーをaを使って表せ。
(2)再び自然長の位置までおもりを持ち上げ、そこで急に手を離したところ、
おもりはつりあいの位置を中心に上下に単振動をした。つりあいの位置でもおもりの速さを求めよ。
(3)ばねの最大の伸びはいくらか。

まず(2)から質問。回答では自然長とつりあいの位置で、力学的エネルギー保存の法則を使って

mg×0 + 1/2m×0^2 + 1/2k×0^2 = mg(-a) + 1/2mv^2 + 1/2ka^2

となっていました。
この右辺は簡単に理解できます。つりあいの位置での全力学的エネルギーです。
しかし左辺、これは自然長つまりばねに物体を取り付けてない、図で言う一番左の状態の全力学的エネルギーですよね?

右辺は物体を付けた状態の時のエネルギーなのに、左辺はそもそも物体を付けてない時の状態の力学的ねるぎーです(とはいっても0ですが。)

これが解答である以上私が間違っているのですが、おかしいと思います。

つまり、力学的エネルギーの総量が一番左の図とつりあいの図では違うから、力学的エネルギー保存則が使えないと思ったのです。
それに、つりあいの位置での力学的エネルギーの総量が=0 なんてこれも理解しづらい。
物体もついているから負の位置エネルギーもあるだろうし、ばねの弾性力もあると思います。
なのに0と等しいなんてわかりません。

次、(3)の問題です。回答では

ばねの最大の伸びをXとすると、最大の伸びのとき速さは0だから(わかる。)

mg×0 + 1/2m×0^2 + 1/2k×0^2 = mg(-X) + 1/2m×0^2 +1/2kX^2

右辺はわかります。最大の伸びのときの全力学的エネルギーです。

しかしこれまた、左辺が自然長のときの全力学的エネルギーです(0ですが)。
(2)と同じで、自然長の時は物体を付けていないから、弾性力のエネルギーも、位置エネルギーもないので、このときと最大の伸びのときの力学的エネルギーが等しいなんて思えません。
(状況が違うから。)

最後になりましたが、長々としたのはかなり自分も考えましたが、分からない部分がはっきりつかめないので、しつこく書いてみました。

解決して次の問題に行きたいと思っていますので、物理に自身のある方、この問題が分かる方
誰か教えてくれる方はおられませんか。
よろしくお願いします。

上端を固定したばねに、質量mのおもりをつけた。おもりを自然長の位置から静かに下げていくと、のびがaのときにつり合った。重力加速度の大きさをg、重力による位置エネルギーの基準点を自然長の位置とする。
(1)つり合いの位置での力学的エネルギーをaを使って表せ。
(2)再び自然長の位置までおもりを持ち上げ、そこで急に手を離したところ、
おもりはつりあいの位置を中心に上下に単振動をした。つりあいの位置でもおもりの速さを求めよ。
(3)ばねの最大の伸びはいくらか。

まず(2)から質問。回答では自然長...続きを読む

Aベストアンサー

数学(値)としての等しさと物理的状態の等しさを混同されているのが根本原因だと思います。

■質問者様の疑問その1 問題(2)
>しかし左辺、これは自然長つまりばねに物体を取り付けてない、図で言う一番左の状態の全力学的エネルギーですよね?

 計算結果の総量が0になるので数値はそうなります。ただし、あくまで解答の左辺は真ん中の図のように重りを付けた状態で、自然長位置に来た時の式です。左の図の状態と「値」が等しくなってしまう「0」になるように条件を設定しているため混乱するのです。なぜ左の図と等しくなるのか。1つは「自然長の位置までおもりを持ち上げ、そこで急に手を離した」こと。2つ目は「重力による位置エネルギーの基準点を自然長の位置」としていること。
 摩擦や減衰を無視すると、このばねは永遠に自然長位置を頂点として振動を続けます。最頂点の位置に来た時、題意から変位は基準点のため0、速度も0、ばねの自然長からの変位も0になるので左辺の状態になります。この瞬間にサッと重りを取り除くと左の図の状態になります。しかし実際には重りが付いていますので、次の瞬間に重力によりばねが伸びていきます。ここが左の図と問題(2)中の重りが最頂点に来たときの違いです。瞬間的な値は等しいですが状態は異なります。

>つまり、力学的エネルギーの総量が一番左の図とつりあいの図では違うから、力学的エネルギー保存則が使えないと思ったのです。

 真ん中の図のばねに重りがついた状態での、自然長位置(最高点)とつりあい位置では保存則が成り立っています。
 瞬間的な値が同じになるだけで、左の図と真ん中の図の間ではエネルギー保存則は成り立っていません。重りの着脱には外力(この場合は人の手ですかね)が必要ですし、重りのない状態ではばねをaの位置まで伸ばすエネルギーは在りません。


■質問者様の疑問その2 問題(2)
>それに、つりあいの位置での力学的エネルギーの総量が=0 なんてこれも理解しづらい。物体もついているから負の位置エネルギーもあるだろうし、ばねの弾性力もあると思います。なのに0と等しいなんてわかりません。

 この場合の(数字の0)≠(存在しない)です。ここが物理現象と式の間の分かりにくさですかね。ここではイコールで0になるのはつり合っていることを表しています。物体による位置エネルギーとばねの弾性力が反対向きにつり合っている状態です。(力学的エネルギー)=0と見ると分かりにくいのであれば、(重力による位置エネルギー+運動エネルギー)=(ばねの弾性力による位置エネルギー)と移項すれば分かりやすいでしょうか。

■質問者様の疑問その3 問題(3)
>しかしこれまた、左辺が自然長のときの全力学的エネルギーです(0ですが)。

これも問題(2)と同様です。数値的には0になりますが、あくまで左辺は重り付きの状態を示しています。



 私の説明で分かりにくければすみません。その時は基準点の位置を、重りを付けた時のつり合いの位置にするなど仮定を変更すると分かりやすいと思います。
 重りの有無に関係ない数値(変位や速度)が0になるので数学上0となり等しい状態に見えるだけで、重りの有無は明確な物理状態の違いです。逆に言えば、力学的エネルギーの保存則のある一状態だけでは運動系の全体状態を記述できないのです。
数値上納得できない場合、仮定を色々おきかえて記述してみると分かったりします(ex.基準点を変えたり)。

参考URL:http://blog.livedoor.jp/aritouch/archives/2943111.html

数学(値)としての等しさと物理的状態の等しさを混同されているのが根本原因だと思います。

■質問者様の疑問その1 問題(2)
>しかし左辺、これは自然長つまりばねに物体を取り付けてない、図で言う一番左の状態の全力学的エネルギーですよね?

 計算結果の総量が0になるので数値はそうなります。ただし、あくまで解答の左辺は真ん中の図のように重りを付けた状態で、自然長位置に来た時の式です。左の図の状態と「値」が等しくなってしまう「0」になるように条件を設定しているため混乱するのです。なぜ...続きを読む


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