No.3ベストアンサー
- 回答日時:
前のお二方が書いておられるように、
√2 + √3 が有理数だと仮定すると
√6 = ((√2 + √3)~2 - 5)/2 も有理数
ということになってしまうことから、
背理法で示すことができます。
では、√6 が無理数であることは
どうやれば示せるかというと…
「√2, √3 が無理数であることを使って」
示すことは、できません。
√2 や √3 が無理数であることを示すのと
同様の手法で証明することになるでしょう。
↓
√6 が有理数だとすれば、
互いに素な自然数 p, q によって
√6 = p/q と表すことができる。
式を変形して、6qq = pp。
左辺が 2 で割りきれることから、
右辺も 2 で割りきれなくてはならず、
p は 2 で割りきれる。
よって、右辺が 4 で割りきれることから、
左辺も 4 で割りきれなくてはならず、
q も 2 で割りきれる。
これは、p, q が互いに素であることに矛盾する。
したがって、背理法により、√6 は無理数。
No.2
- 回答日時:
√2+√3が有理数
↓
(√2+√3)^2=5+2√6は有理数
↓
√6は有理数
√2+√3が有理数
↓
(√2+√3)√2=2+√6は無理数
↓
√6は無理数
No.1
- 回答日時:
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