絶対値の証明問題です

さっそく、質問させていただきます。
１．|a+b|≦|a|+|b|を証明せよ。
２．１の結果を用いて次の不等式を証明せよ。
　　|a|-|b|≦|a+b|
という、問題です。
１．は定石通り両辺を２乗して、証明しますが、
２．について、
　１より|x+y|≦|x|+|y|…(1)
　(1)において、x=a+b,y=-bとおくと←ここが分かりません
　|a+b-b|≦|a+b|+|-b|
よって、|a|≦|a+b|+|b|ゆえに、|a|-|b|≦|a+b|(終)
とありますが、
なぜ、x=a+b,y=-bとおくのでしょうか？根拠が分かりません。

よろしく、お願いいたします。

No.2 回答者： alice_44 回答日時： 2010/04/03 11:38

根拠ですか…。

(1)は、x,y が任意の実数のとき成立
する不等式ですから、何を代入しても良いのです。
それが根拠。

どうやって、そのような代入を思いつくのかは、
式が成立する根拠とは、また別の問題です。
「理力を使うのぢゃ」としか言えない。

この回答へのお礼

有難うございました。

別に根拠とっかて、そういう問題じゃないのが分かって、助かりました。

お礼日時：2010/04/03 16:34

No.1 ベストアンサー 回答者： hachijo 回答日時： 2010/04/02 23:53

こんな具合だと思いますが自信はありません。

問１を利用して問２を解きたい
↓
問１の式から（）－（）の形を作りたい
↓
問１の式を変形して|a+b|-|b|≦|a|。
↓
ここでa+b＝一つの文字、b＝そのまま、a→二つの文字にうまく変換できないか・・・
↓
そうだこう置けば・・！（以下略）

この回答へのお礼

解決できました。
|a-b|=|a|+|b|という事実が判明したので、分かりました。

結局、|a|≦|a+b|+|b|より、
|a+b-b|≦|a+b|+|-b|より、
|a|≦|a+b|+|b|より、
|a|-|b|≦|a+b|が導けました。

有難うございました。

お礼日時：2010/04/03 16:32