高校数学 ベータ関数を背景にした積分漸化式について

ちょっと変な質問で恐縮ですが・・・

　実数 p と q に対して（p と q は複素数でもいいらしいですが）、ベータ関数を

　　B(p,q) = ∫[0→1]x^p(1-x)^q dx ……※

と定義するとき
　　p > 0、q > 0
と 0 を含まないのは、x = 0 で無限大に発散するガンマ関数 Γ(x) を用いて
　　B(p,q) = Γ(p)Γ(q)/Γ(p+q)
と表すことを考慮していると思うのですが、※を背景にした積分漸化式

　　I(m,n) = ∫[0→1]x^m(1-x)^n dx

が、大学入試問題で出てくるときは、ほとんどいっていいくらい m と n は「非負整数」となっています。ベータ関数がベースになっていることを思えば、 m と n は自然数とするのが自然（笑）なような気がしますが、自然数にすると入試問題として何か不都合なことでもあるのでしょうか？

No.1 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/09/16 22:45

いや、むしろ高校生向けには

0^0 が出てこないようにすべきだと思うんだけどな。
∫[0→1] の積分範囲を 0 < x < 1 と見ることも
教わってないわけだし。

No.3 回答者： syotao 回答日時： 2024/09/17 12:19

何か勘違いしてる？

ベータ関数の定義は被積分関数が
x^(p-1)*(1-x)^(q-1)　ｐ＞0ｑ＞0 だから
表題の※はB(p＋1、ｑ＋1)であって
ｐ≧0、ｑ≧0ならベータ関数の定義域内です。

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2024/09/16 23:51

ちとかくにん.

「自然数」って, なに?