図形の難問について
この画像のような問題が、テストに出題されました。
中2までの範囲で作られたテストなのですが、解いてみたところ、相似(中3で学習)を利用しないと解けませんでした。
相似の学習内容を使わずに解く方法は無いのでしょうか?
また、直角三角形の高さを区切った比と、斜辺を同じ高さで区切った比は等しいのでしょうか?
(これも相似の考え方を使わずに考えられるのでしょうか?)
解答と解説が、テスト当日休んでいた人がいて、その人がテストを5教科分終えるまで渡されません。
しかし、今日(2010/05/14)が金曜日なので、月曜日まで渡されません。
答えが気になってしまい、他のことが手につきません。
ご回答よろしくお願いします。
問題文:
四角形ABCDは正方形である。
対角線BD上に点Eがあり、線分AEと辺BCをそれぞれ延長した直線の交点をF、線分AFと辺CDの交点をGとする。
ただし、BE>EDとする。
また、GD=CGで、CE=2EG(CE:EG=2:1)である。
このとき、四角形BCGEの面積は、正方形ABCDの何倍か?
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
E が対角線BD 上にあることから, AE = CE であることは大丈夫でしょうか?
これさえ OK なら, 正方形ABCD の面積に対する△DEG の面積比は△AED 経由で求まりますね.
No.4
- 回答日時:
> また、GD=CGで、CE=2EG(CE:EG=2:1)である。
これ、冗長な条件ですね。問題文としては不要です。
解の過程が冗長かもしれませんが…
ただ、その過程で見過ごせない別の図形の特徴が現れます。
1)
Eをとおり、それぞれADとBC、ABとDCに平行な線を引き、
AB,CD,AD,BCとの交点を、それぞれP,Q,R,Sとする。
2)
△ABEと△DGEは相似である。(対頂角、錯角)
相似比は辺の長さから2:1である(DG=GC=2ABから)
3)
2)から
△APEと△GEDは相似である。(対頂角、錯角)
相似比は辺の長さから2:1である(AE=2EG:2)の三角形の相似比)
よってPE=2EG
4)
△REDと△QEDは合同(斜辺共通と錯角または斜辺共通と1この直角)
よっRE:ES=1:2
5)
よって
△EBCの面積は、BCを底辺とし、高さをQD上にもつ任意の三角形の面積の
2/3である
よって△DBCの面積の2/3でもあり、正方形ABCDの1/3となる。
6)
2)から△CGEの面積は、CDを底辺とし、高さをAB上にもつ任意の三角形の
高さが1/3、底辺が1/2だから
面積は1/6である
よって正方形ABCDの1/12
7)
5)6)の和であるから
1/3+1/12=5/12
============
ここで、一つ面白い事実に気がつきます。
正方形を折り紙に見立てます。
折り紙を、長方形になるように半分におります。
ひらいて、対角線をおります。
二つの折すじに辺を合わせるようにおります。
そうすると
…辺の三等分ができあがります。
これは、ユークリッド幾何学的には大事件です。
定規とコンパスでは作図出来ないはずですから。
折るという、軽量を含まない別の操作を許すことで、
三等分ができてしまうのです。
長方形でも出来ます。
2)~4)の証明の過程でそれが証明されています。
この折り紙定理を、発見者にちなんで「芳賀の定理」といいます。
No.3
- 回答日時:
>また、直角三角形の高さを区切った比と、斜辺を同じ高さで区切った比は等しいのでしょうか?
>(これも相似の考え方を使わずに考えられるのでしょうか?)
これこそ相似を使いたいところだけど、下図のように区切って、黄色の三角形と合同な三角形がいくつあるかで説明が付く。
2:1だからこれで良かったけど、29:13とかだと区切るのが大変。
もっと大変なのが(まだ習っていないかもしれないけど)無理数の場合。例えば1:√2だと厳密には書けない。無数に区切ればいいんだけど。
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