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量子化エネルギーとは?求め方・・・

量子化エネルギーの求め方を教えてください!

そもそも量子化エネルギーとはなんなのかがイマイチ分らないので、できれば教えて頂きたいのですが、何よりも計算法などを教えて頂きたいです!!

問題は、結合量子井戸における量子化エネルギーの障壁層幅依存性です!

分る方お願いします!

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A 回答 (1件)

量子化=飛び飛びになること、離散化、デジタル化


量子化エネルギー=飛び飛びのエネルギー

古典力学では連続的であったエネルギーが、
量子力学では飛び飛びになるのが、最大の不思議であり面白いところです。
その飛び飛びになってしまったエネルギーのことを量子化エネルギーと
呼びます。エネルギー準位といったほうがわかりやすいかも。

結合量子井戸は、大学院入試では定番の問題で、いくつかの演習書に乗ってます。
計算法は量子力学・一次元ポテンシャル問題と同じです。
量子力学の適当な本を図書館で見てください。
    • good
    • 0
この回答へのお礼

遅くなってしまってすみません!!

とても助かりました!

ありがとうございました!!

お礼日時:2010/06/30 17:50

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Qエネルギーの量子化

エネルギーが量子化されているというのは
どういうことなのでしょうか??

Aベストアンサー

昔も昔、大昔、物理の先生から、
量子化とは、エネルギーや原子の大きさなどの不連続な単位である、
と教わりました。

Q「量子」と「量子化されている」について

古いタイプの有機化学者の質問ですが宜しくお願いいたします。
軌道を説明するとき、s軌道、p軌道、、とエネルギーが不連続に上がっていきます。その時に「量子化されている」との説明がされています。
専門家の皆さんに、「量子」と「量子化されている」について、分かり易く(数式抜きで)ご教示頂きたく宜しくお願いいたします。

Aベストアンサー

その場に応じたニューアンスの違いはあるかも知れませんが、私のイメージだと

量子:電子を量子力学的に扱った場合にでてくる離散的なエネルギー(大体hの定数倍の値)を持つ状態を量子と表現する。但しその離散的なエネルギーというのはあまりにも小さいので大雑把な近似では連続的にみえます。そのような場合には古典的な粒子と見えることになります。我々の古典的な見え方はその意味で大雑把な近似として正しい。

その意味で量子~離散的という言い方もできます。但し離散的なのはエネルギーです。また量子化というのは歴史的な理由で、我々が古典的な力学しか知らなかったために、古典的概念をミクロな世界で正しい量子力学へ移行する数学的な方法です。もともと正しい量子力学を基本に考えれば、「量子化(≒量子力学化)する」というのは我々人間が知識不足のために誤解していた自然のあり方を、正しい量子力学へと変更するという意味です。

よって量子化(量子力学的に正しい力学へ移行)すれば、正しい量子的(離散的なエネルギーを持った電子状態=h、2h、3h、4h、....)な振る舞いが導かれます。量子化の結果離散的なエネルギーが出てきたのであって、離散的なエネルギーを考えたら量子力学がでてくるわけではありません。離散的なのはあくまで結果です。(陳腐な例ですが次は一般には成立しません:お金持ちになったから幸福になる⇔幸福になったらお金持ちになる)

oldappleさんの例だとs,p,dとか言う電子軌道はエネルギーが異なりますよね。その値を私は覚えていませんが、例えばEs < Ep < Ed となっているはずですが、それらの中間にもエネルギーE(?)がありそうなもんです、つまり

Es< E(?) <Ep

となるエネルギー。これは古典的な考えではp軌道とs軌道の中間にある軌道がありそうだからなんですが、これは量子力学ではないことがわかっています。つまり軌道は空間に連続的に存在しているわけではない。
その意味でこの場合エネルギーも離散的で軌道も離散的なものになっています。

量子可=単体 というのは意味が良く分りません。

その場に応じたニューアンスの違いはあるかも知れませんが、私のイメージだと

量子:電子を量子力学的に扱った場合にでてくる離散的なエネルギー(大体hの定数倍の値)を持つ状態を量子と表現する。但しその離散的なエネルギーというのはあまりにも小さいので大雑把な近似では連続的にみえます。そのような場合には古典的な粒子と見えることになります。我々の古典的な見え方はその意味で大雑把な近似として正しい。

その意味で量子~離散的という言い方もできます。但し離散的なのはエネルギーです。また...続きを読む

Qブリュアンゾーンの物理的な意味

 ブリュアンゾーンは、逆格子空間のウィグナーサイツセルとして定義されますが、物理的にはどんな意味があるのでしょうか。いまいち具体的なイメージがわきません。キッテルを使って勉強しているのですが、回りくどくてよくわかりません。
 さらに、フォノンの波数ベクトルが-π<Ka<-πに限定されると、なぜそこがブリュアンゾーンに対応しているのでしょうか。
 数式はキッテルに載っているので、できるだけ物理的な意味やイメージをお教えいただければと思います。よろしくお願いします。

Aベストアンサー

○ブリユアンゾーンがなぜ波数なのか?

#1で述べた通り、そもそも逆格子空間とは、波数空間なのです。ですから、その一部であるブリユアンゾーンも当然波数ですよね。

○なぜウィグナーサイツセルがブリルアンゾーンになるのか?

例えば、いきなり三次元で考えると難しいので、二次元(x-y平面)の正方格子で考えます。基本格子ベクトルa1,a2から実際に基本逆格子ベクトルb1,b2を計算してみてください。y軸方向のベクトルと、x軸方向のベクトルになったと思います。
基本逆格子ベクトルb1とb2を線形結合をとることにより、一般の逆格子ベクトルGが得られますが、ゼロベクトルを別とすれば、逆格子ベクトルGの中で大きさが最も小さいのは、b1,b2含めて全部で4つですよね。この4つのベクトルを原点から書いてみて下さい。
で、結論から言いますと、これらのベクトルの垂直二等分線で囲まれた領域(四角形)がブリユアンゾーンとなるわけですが、それは何故かを考えます。
いま、
(1)このような四角形を逆格子ベクトルだけ移動させて張り合わせていくと、全平面を埋め尽くすことができますよね。また、
(2)四角形の内側の点から逆格子ベクトルだけ離れた点はすべて四角形の外側にあることになります。(つまり、ブロッホ波の波数kの周期的な任意性による重複がこの四角形の中にないってこと。)
ブロッホ波の波数kの任意性の周期は基本逆格子ベクトルですから・・・・もうこの四角形の内部の点だけを考慮すればいいことになりますよね!だから、こうやって定義された四角形はブリユアンゾーンとなるわけです。

この考え方が他の構造にも適用できます。

○ブリユアンゾーンがなぜ波数なのか?

#1で述べた通り、そもそも逆格子空間とは、波数空間なのです。ですから、その一部であるブリユアンゾーンも当然波数ですよね。

○なぜウィグナーサイツセルがブリルアンゾーンになるのか?

例えば、いきなり三次元で考えると難しいので、二次元(x-y平面)の正方格子で考えます。基本格子ベクトルa1,a2から実際に基本逆格子ベクトルb1,b2を計算してみてください。y軸方向のベクトルと、x軸方向のベクトルになったと思います。
基本逆格子ベクトルb1とb2を線形...続きを読む

Q鉄イオンになぜFe2+とFe3+があるの?

イオンに価数の違うものがあるという現象が理解できません・・・。

例えば、水素イオンだったらH+しかありませんよね。電子を一つ外に出した方が安定だから。

でも、鉄イオンにFe2+とFe3+があるじゃないですか!!

じゃあ、このイオンたちは外に電子を二つだしても、三つだしても安定なのでしょうか。変です。安定状態は一つじゃないんですか。あの最外核電子が希ガスと同じになると安定。

仮に安定状態にかかわらずイオンになれるんだとすれば、Fe+~Fe10+とかいくらでもありそうな気がするのです。でも、鉄の場合はFe2+とFe3+くらいしか聞かないですし、水素の場合のH2+も聞きません。どうしてでしょう(-_-;

Aベストアンサー

イオン化エネルギー(単位はkJ/mol)

H  1312

Na 495  4562  6911
Mg 737  1476  7732

K  419  3051  4410
Ca 589  1145  4910

He  2373  5259
Ne  2080  3952
Ar  1520  2665 

1.不活性元素(希ガス)の電子配置から先に行くのは難しいのが分かります。
  Na^2+は存在しないだろうというのはエネルギー的な判断として可能です。

2.Ca^2+を実現するために必要なエネルギーはNa^+を実現するために必要なエネルギーよりも2倍以上大きいです。でもCa^2+は安定に存在します。これはイオン化エネルギーの大きさだけでは判断できない事です。
CaOとNaClは結晶構造が同じです。融点を比べると結合の強さの違いが分かります。
NaCl 801℃   CaO  2572℃

CaOの方が格段に結合が強いことが分かります。
結合が強いというのを安定な構造ができていると考えてもいいはずです。
NaClは(+)、(-)の間の引力です。CaOは(2+)、(2-)の間の引力です。これで4倍の違いが出てきます。イオン間距離も問題になります。Ca^+には最外殻のs軌道に電子が1つ残っていますからCa^2+よりも大きいです。荷電数が大きくてサイズの小さいイオンができる方が静電エネルギーでの安定化には有利なのです。
Fe(OH)2よりもFe(OH)3の方が溶解度が格段に小さいというのも2+、3+という電荷の大きさの違いが効いてきています。サイズも小さくなっています。

イオンは単独では存在しません。必ず対のイオンと共に存在しています。
水和されていると書いておられる回答もありますが対のイオンの存在によって安定化されるというのが先です。
水溶液の中であっても正イオンだけとか負イオンだけとかでは存在できません。水和された正イオンと水和された陰イオンとが同数あります。水和された負イオンの周りは水和された正イオンが取り囲んでいます。液体の中にありますからかなり乱れた構造になっていますが正負のイオンが同数あって互いに反対符号のイオンの周りに分布しているという特徴は維持されています。

3.d軌道に電子が不完全に入っている元素を遷移元素と呼んでいます。
  「遷移」というのは性質がダラダラと変わるということから来た言葉です。普通は族番号が変われば性質が大きく変わります。周期表で横にある元素とは性質が異なるが縦に並んでいる元素とは性質が似ているというのが元素を「周期表の形にまとめてみよう」という考えの出発点でした。だから3属から11族を1つにまとめて考えるという事も出てくるのです。
 性質が似ているというのは電子の配置に理由があるはずです。電子は最外殻のsに先に入って後からdに入ります。エネルギーの逆転が起こっていますが違いは小さいものです。まず外の枠組み(s軌道)が決まっている、違いは内部(d軌道)の電子の入り方だけだというところからダラダラ性質が変わるというのが出てきます。M^2+のイオンがすべて存在するというのもここから出てきます。11族の元素に1+が出てくるのは内部のd軌道を満杯にしてs軌道電子が1つになるというからのことでしょう。これは#7に書かれています。でもそれがなぜ言えるのかはさらに別の理由が必要でしょう。
 s軌道の電子が飛び出してイオンができたとすると残るのはd軌道の電子です。イオンのサイズがあまり変わらないというのはここから出てきます。
 イオンの価数の種類が1つではないというのも遷移元素の特徴です。エネルギーにあまり大きな違いのないところでの電子の出入りだという捉え方でもかまわないと思います。イオン単独で考えているのではなくてイオンが置かれている環境の中で考えています。イオン化エネルギーの大小だけではありません。
 色が付いている化合物が多いというのもエネルギー的にあまり大きな違いのない電子配置がいくつか存在する、そのエネルギー状態は周囲の環境によって割合と簡単に変化するという事を表しています。普通なら電子遷移は紫外線の領域です。可視光の領域に吸収が出るのですから差の小さいエネルギー準位があるという事です。この色が周りに何があるかによって変化するというのも、変動しやすいエネルギー順位があるという証拠になるのではないでしょうか。酸化銅、硫酸銅、塩化銅、硝酸銅、結晶の色は異なります。水和された銅イオン、アンモニアが配意した銅イオンもはっきりとした色の違いがあります。

4.今考えているイオンの電荷は実電荷です。酸化数は実電荷に対応しているとは限りません。
 単原子イオンの酸化数はイオンの価数そのままですが、単原子イオンではない、分子中の原子、または多原子イオンの中の原子の酸化数は形式的に電荷を割り振ったものです。イオンでないものであってもイオンであるかのように見なしているのです。「Cr^(6+)」が存在するなんて書かれると「????」となってしまいます。Cr2O3の融点が2436℃、CrO3の融点が196℃であるという数字から考えるとCrO3はイオン性ではありません。無水クロム酸とも言われていますがCrO4^2-の中の結合と同じであろうと考えられます。
 CO2はC^(4+)1つとO^(2-)2つが結合したものと教えている中学校があるように聞いていますが困ったことです。「硫酸の中の硫黄の原子価は6+である」と書いてある危険物のテキストもあります。酸化数と原子価の混同はかなり広く見られることのようです。Cr^6+ という表現はそれと同列のことですから堂々と回答に書かれては困ることです。

イオン化エネルギー(単位はkJ/mol)

H  1312

Na 495  4562  6911
Mg 737  1476  7732

K  419  3051  4410
Ca 589  1145  4910

He  2373  5259
Ne  2080  3952
Ar  1520  2665 

1.不活性元素(希ガス)の電子配置から先に行くのは難しいのが分かります。
  Na^2+は存在しないだろうというのはエネルギー的な判断として可能です。

2.Ca^2+を実現するために必要...続きを読む

Q一分子の基底状態と励起状態の縮退度の求め方

1辺aの立方体に質量mの内部構造のないNコの同種粒子からなる気体がある。
一粒子のエネルギー準位は次のように書ける。
E=h・h(nx・nx+ny・ny+nz・nz)/(8ma・a)
hはプランク定数。nx,ny,nzは自然数。

という問題で
「一分子の基底状態と励起状態の縮退度はそれぞれいくらか」
というのがテストで出たんですがわかりませんでした。
答えあわせをしてくれないので困ってます。
どなたかわかる方いませんか?教えてください(泣

Aベストアンサー

例によって答を教えてくれない先生ですか.
どうも困ったもんですね~.

同じエネルギーの値に対して状態がいくつあるかが縮退度です.
状態は 自然数の組 nx, ny, nz の組で指定されます.

最低エネルギーの状態(基底状態)はもちろん,nx = ny = nz = 1 の
ただ1通りだけ.
したがって基底状態の縮退度は1.

最初の励起状態は,nx,ny,nz のうち1つが2,残り2つが1というやつで
nx^2 + ny^2 + nz^2 = 6
ですね.
nx,ny,nz のうちどれかが2だというのだから,3通りの可能性があります.
すなわち,縮退度は3.

2番目の励起状態は,nx,ny,nz のうち2つが2,残り1つが1というやつで,
これも3通りの可能性があるから,縮退度は3.

つまり,エネルギーを決めると,nx^2 + ny^2 + nz^2 が決まるので,
これに対応する nx,ny,nz の選び方の数が縮退度です.
一般の nx^2 + ny^2 + nz^2 を指定して選び方の数を求めるのはちょっと
複雑そうです.

幾何学的には,nx,ny,nz の3次元空間で,球の半径 nx^2 + ny^2 + nz^2 を
決めたとき,その球面が通る格子点の数はいくつか,と言う問題になっています.

通常は,a が十分大きいとして,エネルギーの連続極限をとってしまいますが,
そこらあたりまで要求されているんでしょうか?

それから,もし粒子が電子だとすると,nx,ny,nz を指定しても,
その他にスピンの自由度2があります.
スピンまで考慮すれば,縮退度は上の計算の2倍になります.

例によって答を教えてくれない先生ですか.
どうも困ったもんですね~.

同じエネルギーの値に対して状態がいくつあるかが縮退度です.
状態は 自然数の組 nx, ny, nz の組で指定されます.

最低エネルギーの状態(基底状態)はもちろん,nx = ny = nz = 1 の
ただ1通りだけ.
したがって基底状態の縮退度は1.

最初の励起状態は,nx,ny,nz のうち1つが2,残り2つが1というやつで
nx^2 + ny^2 + nz^2 = 6
ですね.
nx,ny,nz のうちどれかが2だというのだから,3通りの可能性があります.
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Qフェルミエネルギー

フェルミエネルギーってどんなエネルギーのことですか??物理辞典とかを読んでも難しくてよくわかりません。わかりやすく説明おねがいします!

Aベストアンサー

長々と失礼致します。


電子のように
・粒子一つ一つに区別は出来ない
・一つの状態には一つの粒子しかは入れない
という性質の粒子を フェルミ粒子(ex陽子)といいます。

このフェルミ粒子は、フェルミディラック分布にしたがった確立で存在します。

f(ε)=1/[exp{(εーεF)/kT}+1]  ・・・☆
     f:フェルミ関数(運動エネルギーεをもつ粒子の存在確立)
     ε:粒子の運動エネルギー
     εF:フェルミエネルギー
     k:定数
     T:温度

☆式のεにフェルミエネルギーを入れると、粒子の存在確立が1/2になりますね。
ここで、温度T=0(絶対温度)の時を考えてみると、
運動エネルギーが、フェルミエネルギー以下の場合はf=1、フェルミエネルギー以上ではf=0となります。

ちなみに、粒子一つ一つを区別する事は出来ないけれど、一つの状態にいくつも粒子が入る事が出来るものをボーズ粒子(ex.光子)といいます。


電子はパウリの排他原理(排他律)にしたがい、一つの準位には一つの電子しか入れません。
下の準位から一つ一つ電子が埋まってゆき、その電子が詰まっている最大の準位がフェルミレベルで、このエネルギーをフェルミエネルギーといいます。
金属の場合、フェルミエネルギーは、荷電子帯の中にありますが、半導体の場合は荷電子帯と伝導帯の間にあります。
真性半導体の場合、荷電子帯の天井と伝導体の底辺のちょうど真ん中にあります。

長々と失礼致します。


電子のように
・粒子一つ一つに区別は出来ない
・一つの状態には一つの粒子しかは入れない
という性質の粒子を フェルミ粒子(ex陽子)といいます。

このフェルミ粒子は、フェルミディラック分布にしたがった確立で存在します。

f(ε)=1/[exp{(εーεF)/kT}+1]  ・・・☆
     f:フェルミ関数(運動エネルギーεをもつ粒子の存在確立)
     ε:粒子の運動エネルギー
     εF:フェルミエネルギー
     k:定数
     T:温度

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Qエクセルで計算すると2.43E-19などと表示される。Eとは何ですか?

よろしくお願いします。
エクセルの回帰分析をすると有意水準で2.43E-19などと表示されますが
Eとは何でしょうか?

また、回帰分析の数字の意味が良く分からないのですが、
皆さんは独学されましたか?それとも講座などをうけたのでしょうか?

回帰分析でR2(決定係数)しかみていないのですが
どうすれば回帰分析が分かるようになるのでしょうか?
本を読んだのですがいまいち難しくて分かりません。
教えてください。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

★回答
・最初に『回帰分析』をここで説明するのは少し大変なので『E』のみ説明します。
・回答者 No.1 ~ No.3 さんと同じく『指数表記』の『Exponent』ですよ。
・『指数』って分かりますか?
・10→1.0E+1(1.0×10の1乗)→×10倍
・100→1.0E+2(1.0×10の2乗)→×100倍
・1000→1.0E+3(1.0×10の3乗)→×1000倍
・0.1→1.0E-1(1.0×1/10の1乗)→×1/10倍→÷10
・0.01→1.0E-2(1.0×1/10の2乗)→×1/100倍→÷100
・0.001→1.0E-3(1.0×1/10の3乗)→×1/1000倍→÷1000
・になります。ようするに 10 を n 乗すると元の数字になるための指数表記のことですよ。
・よって、『2.43E-19』とは?
 2.43×1/(10の19乗)で、
 2.43×1/10000000000000000000となり、
 2.43×0.0000000000000000001だから、
 0.000000000000000000243という数値を意味します。

補足:
・E+数値は 10、100、1000 という大きい数を表します。
・E-数値は 0.1、0.01、0.001 という小さい数を表します。
・数学では『2.43×10』の次に、小さい数字で上に『19』と表示します。→http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%8C%87%E6%95%B0%E8%A1%A8%E8%A8%98
・最後に『回帰分析』とは何?下の『参考URL』をどうぞ。→『数学』カテゴリで質問してみては?

参考URL:http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9B%9E%E5%B8%B0%E5%88%86%E6%9E%90

★回答
・最初に『回帰分析』をここで説明するのは少し大変なので『E』のみ説明します。
・回答者 No.1 ~ No.3 さんと同じく『指数表記』の『Exponent』ですよ。
・『指数』って分かりますか?
・10→1.0E+1(1.0×10の1乗)→×10倍
・100→1.0E+2(1.0×10の2乗)→×100倍
・1000→1.0E+3(1.0×10の3乗)→×1000倍
・0.1→1.0E-1(1.0×1/10の1乗)→×1/10倍→÷10
・0.01→1.0E-2(1.0×1/10の2乗)→×1/100倍→÷100
・0.001→1.0E-3(1.0×1/10の3乗)→×1/1000倍→÷1000
・になります。ようするに 10 を n 乗すると元の数字になるた...続きを読む

Q波数の意味と波数ベクトル

確認したい事と質問があります。

波数kというのはある単位長さ当たりに存在する1周期分(1波長分)の波の数で合っていますでしょうか?数と言っても単純に「波が1000個もある!」という意味ではなく、「ある単位長さ中に1個の波が含まれる」という感じで個数というより割合に近い物だと解釈してるのですが大丈夫でしょうか?
一般に波数kは波長λを使って、k=2π/λ、もしくはk=1/λと表されます。用いる単位系によって違いますが、ここでは分かりやすくk=1/λを例に取ります。例えばλ1=100[m]の波の波数はk1=1/100[m]となり、これは「100m中に1個の波がある」という意味であり、λ2=2[m]の波の波数はk2=1/2[m]となり、「2m中に1個の波がある」という意味で、いずれもk<1なのはどれくらいの割合で波が1つあるのかという事を表してるのだと思っています。k2は2[m]中に1つの波があるので、仮にその波を100[m]にも渡って観察すれば、その中に50個も波が存在する。一方、k1は100[m]内に1個しか波が存在しない。よってk2の波の方が波の数が多い波である。以上が波の「数」なのに次元が長さの逆数を取る理由だと解釈してるのですが、合っているでしょうか?

また、(正否は分かりませんが)波数kを以上のように考えているのですが、波数ベクトルという概念の理解に行き詰まっています。個数であり、長さの逆数を取る量がベクトル量で向きを持つというイメージが掴めません。本にはkx、ky、kzと矢印だけはよく見かけるのですが、その矢印がどこを基準(始点)としてどこへ向いているのか(終点はどこなのか)が描かれていないので分かりません。波数ベクトルとはどういう方向を向いていて、それはどういう意味なのですか?一応、自分なりに描いてみたのですが下の図で合っているでしょうか?(1波長置きに存在するyz平面に平行な面に直交するベクトルです)

私の波数の考えが合っているか、波数ベクトルが図のようで合っているかどうか、波数ベクトルとは何かをどなたか教えて欲しいです。

確認したい事と質問があります。

波数kというのはある単位長さ当たりに存在する1周期分(1波長分)の波の数で合っていますでしょうか?数と言っても単純に「波が1000個もある!」という意味ではなく、「ある単位長さ中に1個の波が含まれる」という感じで個数というより割合に近い物だと解釈してるのですが大丈夫でしょうか?
一般に波数kは波長λを使って、k=2π/λ、もしくはk=1/λと表されます。用いる単位系によって違いますが、ここでは分かりやすくk=1/λを例に取ります。例えばλ1=100[m...続きを読む

Aベストアンサー

上の内容については私の前に書いていらっしゃる方がいるので波数ベクトルについて述べたいと思います。
あなたはどうやら波をx軸方向に進む高校で習うような波で想像しているものと思います。
しかし、現実で見かける波(たとえ水面の波紋)はz=Asin( √(kx^2+ky^2) )のようにx方向y方向に伝搬しています。このとき波は同心円状に広がるので、x方向、y方向の波数はそれぞれkという定数で表すことができます。(下のリンクを参考に)
http://www.wolframalpha.com/input/?i=sin%28sqrt%28x^2%2By^2%29%29
このとき、x方向の波数は1、y方向の波数も1、z方向に波はないので波数は0となり、波数ベクトル
K=(kx,ky,kz)=(1,1,0)
のように表すことができます。

さらに発展して考えたとき、x方向とy方向の波数が違っていてもいいですよね(下のリンクのような)
http://www.wolframalpha.com/input/?i=sin%28sqrt%28x^2%2B0.3*y^2%29%29
こうなるとx方向の波数は1、y方向の波数は0.3、z方向に波はないので波数は0となり、波数ベクトル
K=(kx,ky,kz)=(1,0.3,0)
のように表すことができます。

このように波数ベクトルは、現実の波をx,y,z成分で分けたときのそれぞれの波長(λx,λy,λz)から求めたものなので、あくまで波がどういう形になるのかしか分かりません。
なので波の始点や終点という概念はありません。
この波数ベクトルの利点は、たとえば現実空間で
y=sin(1*x)+sin(2*x)+sin(3*x)+sin(4*x)+・・・+sin((n-1)*x)+sin(n*x)
を考えるととても複雑なグラフとなりますが、波数空間ではkx=1,2,・・・.nの点の集合として表すことができます。(よくいわれるスペクトル表示的なものです)



波数ベクトルを現実世界の何かとして考えることはあまりないので割り切ってしまった方が楽かもしれません。

上の内容については私の前に書いていらっしゃる方がいるので波数ベクトルについて述べたいと思います。
あなたはどうやら波をx軸方向に進む高校で習うような波で想像しているものと思います。
しかし、現実で見かける波(たとえ水面の波紋)はz=Asin( √(kx^2+ky^2) )のようにx方向y方向に伝搬しています。このとき波は同心円状に広がるので、x方向、y方向の波数はそれぞれkという定数で表すことができます。(下のリンクを参考に)
http://www.wolframalpha.com/input/?i=sin%28sqrt%28x^2%2By^2%29%29
このと...続きを読む

Q原子の中の原子核と電子

原子は、原子核と電子から構成されていますね。それらは、プラスとマイナスの電荷を持っていますね。それなのに何故、原子核と電子は衝突してしまわないのでしょう。素粒子の実験では、加速器という装置を使って、素粒子同士をぶつけることができるそうですが、このような衝突が何故、原子の中で起こらないのでしょうか。みなさん、よろしくお願いします。

Aベストアンサー

stomachman さんの言われるように,20世紀初頭の大難問でした.

1911 年にラザフォードが原子核+電子という模型を提出して以来,
1913 年のボーアの量子仮設などを経て,1926 年にシュレーディンガーが
水素原子のシュレーディンガー方程式の解を示したのが最終解決ですね.
3人ともノーベル賞を受けています.
ラザフォード・・・・・・・・1908年,ノーベル化学賞
ボーア・・・・・・・・・・・1922年,ノーベル物理学賞
シュレーディンガー・・・・・1933年,ノーベル物理学賞

○ 前期量子論風に簡単にやってみましょう.
電子が陽子の周囲を半径 a の円軌道で回っているとして
(本当は回っているわけではないが...)
陽子-電子間のクーロン引力が e^2/a^2
(4πε0 がついていないのは cgs 非有理化単位系を使っているから)
遠心力が maω^2 (ωは回転の角速度),
両者が釣り合うから
(1)   e^2/a^2 = maω^2
速度は v = aω で,運動量 p は
(2)   p = mv = maω
stomachman さんの言われる電子波の波長λは,
ド・ブロイ(これも1929年のノーベル物理学賞)の関係式(1924年)で
(3)   λ = h/p
h はプランク定数.
円軌道一周が 2πa の長さですから,これが波長λの整数倍でないと
一周したときに波の頭としっぽがずれてしまう.
(4)   2πa = nλ  (n は自然数)
で,(1)~(4)から,簡単に
(5)   a_n = n^2 h^2 / 4π^2 m e^2
で,円軌道の半径が h^2 / 4π^2 m e^2 の n^2 倍しかとれない,
というようになっているのがわかります.
n = 0 では電子波がなくなっちゃいます.
エネルギー E_n は,運動エネルギー mv^2 = ma^2 ω^2 と,
クーロン力のポテンシャルエネルギー -e^2/a (負号は引力だから)の和で,
(6)   E_n = - 2π^2 e^4 m / n^2 h^2
で,これも離散的な値を取ります.
stomachman さんの E = mc^2 は何か誤解されているようですね.
エネルギーが E_n で量子化されていますから,
状態間を移るためにはそのエネルギー差の出し入れが必要なです.
それが電磁波のエネルギー hν になっているので,
吸収や放出する電磁波の波長は特定のものしかあり得ません.
ここらへんは stomachman さんの言われるとおり.

○ 上の前期量子論風の話は,きちんとした量子力学の定式化の話からすると
まずいところがあれこれあります.

○ ド・ブロイの波長の話は大分後の話で,前期量子論では作用積分の量子化
という議論になっていました.

○ もうちょっと簡単に言うなら,
電子が陽子の場所に落ち込んで動かなくなってしまうと,
場所が決まり運動量も決まってしまうので,
ハイゼンベルクの不確定性原理に違反する,という言い方も出来ます.

○ エネルギーが離散的な値を取るのは束縛状態(E < 0)だけで,
非束縛状態(散乱状態)の E > 0 では,エネルギーが連続的な値をとります.
量子力学では何でもエネルギーが離散的というわけではありません.
よく誤解されるようですが,量子力学という名前が悪いのかな?
加速器で陽子を原子核に打ち込むような話では,
陽子のエネルギーは連続的に取り得ます.

○ 加速器でよく使われるのは,
陽子や重陽子(重水素の原子核,陽子1個+中性子1個)や
α粒子(ヘリウム4の原子核,陽子2個+中性子2個)を
標的の原子核に打ち込むというものです.
標的がうまく取り込んでくれれば,原子番号が1か2大きい原子核ができます.
超ウラン元素のはじめの方はこのようなやり方で作られました.
後の方の元素はクロムイオンを鉛原子核にぶつけるなど,しています.
陽子も原子核も正電荷を持っていますから,クーロン反発力があります.
十分距離が近づけば核力の引力が作用しますが,そこまでクーロン反発力に逆らって
近づけるために加速器で加速するのです.

stomachman さんの言われるように,20世紀初頭の大難問でした.

1911 年にラザフォードが原子核+電子という模型を提出して以来,
1913 年のボーアの量子仮設などを経て,1926 年にシュレーディンガーが
水素原子のシュレーディンガー方程式の解を示したのが最終解決ですね.
3人ともノーベル賞を受けています.
ラザフォード・・・・・・・・1908年,ノーベル化学賞
ボーア・・・・・・・・・・・1922年,ノーベル物理学賞
シュレーディンガー・・・・・1933年,ノーベル物理学賞

○ 前期量子論風...続きを読む

Q有効質量について教えてください。

「有効質量」は「質量」とどう違うのでしょうか?

また、「有効」の意味は何なのでしょうか?

Aベストアンサー

siegmund です.

半導体では,電子の波動関数がブロッホ関数になっていて,
エネルギーεと波数 k の関係ε(k)が自由粒子の時とは違います.
自由粒子なら
(1)  ε0(k) = (h/2π)^2 k^2 / 2m
です.
h はプランク定数,m は電子の質量.
で,(1)から
(2)  1/m = (2π/h)^2 {d^2 ε0(k) / dk^2}
ですね.
これを半導体中の電子にも適用して
(3)  1/m* = (2π/h)^2 {d^2 ε(k) / dk^2}
で有効質量 m* を定義しています.

もちろん,他のやりかたでもεと m を結びつけることはできるわけですが,
運動方程式など作ってみると,(2)の定義が妥当であることを示すことができます.
詳細は後述の参考書などごご覧下さい.

一般には,半導体のバンドは異方的なので
(4)  (1/m*)μν = (2π/h)^2 {d^2 ε(k) / dkμ dkν}
で有効質量が定義され,テンソル量になっています.
μ,ν = x,y,z です.

特定の電子の速度などが測定できるわけではありませんから,
運動方程式から直接有効質量を測定しようというのは無理です.
半導体中電子の有効質量を測定する手段として有名なのは,
サイクロトロン共鳴,ド・ハース‐ファン・アルフェン効果などが有名です.

有効質量の考え方はバンド構造と共に半導体の基本ですから,
マスターされるようにおすすめします.
今,手元には半導体の専門書が見あたりませんが,
キッテルの「固体物理学入門」にはある程度記述があります.

siegmund です.

半導体では,電子の波動関数がブロッホ関数になっていて,
エネルギーεと波数 k の関係ε(k)が自由粒子の時とは違います.
自由粒子なら
(1)  ε0(k) = (h/2π)^2 k^2 / 2m
です.
h はプランク定数,m は電子の質量.
で,(1)から
(2)  1/m = (2π/h)^2 {d^2 ε0(k) / dk^2}
ですね.
これを半導体中の電子にも適用して
(3)  1/m* = (2π/h)^2 {d^2 ε(k) / dk^2}
で有効質量 m* を定義しています.

もちろん,他のやりかたでもεと m を結びつけることはできるわけですが,
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