数列の問題

数字1,2,3をｎ個並べてできるｎ桁のの数全体を考える。そのうち1が奇数回あらわれるものの個数をan,１が遇数回現れるか全くあらわれないものの個数をbnとする。
※an,bnは数列の一般項です
(1)an+1、bn+1をan,bnを用いて表せ。

数列の問題なのですが、ちょっとどんな風に解いたらよいかわかりません。
よろしくお願い致しますｍ(__)ｍ

No.1 ベストアンサー 回答者： fushigichan 回答日時： 2003/07/11 23:08

stripeさん、こんばんは。

面白い問題ですね。

○○○・・・・・○
↑　　　　　　　↑
１か２か３　　　ｎ番目

こういう数字を考えるんですよね。
どれにも、１か２か３の３通りが入るので、個数は3^n個。

さて、そのうち、１が奇数回表れるのを、a[n]
１が偶数回もしくは、０回現れるのを、b[n]
としますと、
a[n]+b[n]=3^n

＞(1)an+1、bn+1をan,bnを用いて表せ。

a[n+1]とは、
n+1桁の数字のうち、１が奇数回現れるものの個数なので、
n桁の数字で、１が奇数回表れるものに、n+1番目に２か３が来るときと、
n桁の数字で、１が偶数回現れるものに、n+1番目に１が現れたもの
を加えた数だけありますよね。

つまり、
１・・・・・・・・・ｎn+1
○○・・・・・・・○○
　　　　　　　　↑
ここまで、奇数回なら、n+1番目が１が出れば偶数回になり、
ここまで偶数回なら、n+1番目に１が出れば奇数回になる。

このことを考えると、
a[n+1]=2a[n]+b[n]
b[n+1]=a[n]+2b[n]

となるのではないでしょうか。
ご参考になればうれしいです。

この回答へのお礼

詳しいご回答どうもありがとうございます。
解説を聞いて、やっと何が聞かれているのかが分かってきました(＾＾；

ごめんなさい、大体わかったのですが、最後のところがちょっとよくわかりません。

＞a[n+1]とは、
n+1桁の数字のうち、１が奇数回現れるものの個数なので、
n桁の数字で、１が奇数回表れるものに、n+1番目に２か３が来るときと、
n桁の数字で、１が偶数回現れるものに、n+1番目に１が現れたもの
を加えた数だけありますよね。

つまり、
１・・・・・・・・・ｎn+1
○○・・・・・・・○○
　　　　　　　　↑
ここまで、奇数回なら、n+1番目が１が出れば偶数回になり、
ここまで偶数回なら、n+1番目に１が出れば奇数回になる。

ここまでは大丈夫なのですが、
＞a[n+1]=2a[n]+b[n]
b[n+1]=a[n]+2b[n]
となるところがよくわかりません。

お忙しいと思いますが、よろしかったら教えて下さいm(__)m

お礼日時：2003/07/13 14:50

No.2 回答者： BBblue 回答日時： 2003/07/15 18:37

＞１・・・・・・・・・ｎn+1

＞○○・・・・・・・○○
＞　　　　　　　　↑
＞ここまで、奇数回なら、n+1番目が１が出れば偶数回になり、
＞ここまで偶数回なら、n+1番目に１が出れば奇数回になる。

a[n+1]について、

１・・・・・・・・・ｎn+1
○○・・・・・・・○１　　となるとき、
○○・・・・・・・○ の部分は n 桁で1が偶数回だからb[n] 通り。

１・・・・・・・・・ｎn+1
○○・・・・・・・○２
○○・・・・・・・○３　　となるとき、
○○・・・・・・・○ の部分は n 桁で1が奇数回だから 2a[n] 通り。

よって、 a[n+1]=2a[n]+b[n]

で良いでしょうか？
b[n+1]=a[n]+2b[n]も同様です。

この回答へのお礼

どうもありがとうございます。

＞○○・・・・・・・○１　　となるとき、
＞○○・・・・・・・○ の部分は n 桁で1が偶数回だからb[n] 通り。

その通りですよね！なんかｎ+1番目はカウントしなくてよいのかとか色々ヘンなことを考えてました(＾＾；

参考にさせていただきます。

お礼日時：2003/07/16 11:21