Ａ＝([a,b],[c,d])に対し，A^2＋xA＋yＥ＝０，Ｅ＝（[

Question

Ａ＝([a,b],[c,d])に対し，A^2＋xA＋yＥ＝０，Ｅ＝（[1,0],[0,1]）となるx,yを求めよ。できるだけ詳しく教えてください。よろしくお願いします。

pascal3 · Accepted Answer

> ｘ，ｙを求めよ。とあると，
> 文字を使わない数字で答えが出なければいけないと思ってるのですが

文字にも「既知量」の文字と「未知量」の文字があります。
今の場合、a, b, c, d が既知量の文字として与えられているので、
x = (a,b,c,d の式)
y = (a,b,c,d の式)
の形であらわせ、というのが、ここで求められていることです。

ちなみに k は問題文中にありません。 注意してください。
（alice_44さんの解答の意味を分かっていれば k を a,b,c,d に関係づけるのは簡単なことですが、ここにはあえて書きません。 自分で考えないと勉強にならないから。）

あと「初心者」ということですが、だったらケーリー・ハミルトンみたいな「教えてもらった便利な公式」に頼るのはそれこそ邪道であって、正直にA^2を計算して連立方程式に持ち込むべきでしょう。 しょせんxとyについての連立1次方程式なのですから。

alice_44 · Answer

求めたことになります。
アタリマエのことですから、慣れましょう。
　x = t,
　y = -k^2-kt,
　ただし t は任意
とか書いても構いませんが、単に冗長です。

alice_44 · Answer

懐かしい～。
私の頃は、これが高２の期末テストに出てたんだよ。

ケイリー・ハミルトンの定理より、
A^2 - (a+d)A + (ad-bc)E = ０ が成り立つ。
(大学入試では、CH定理を表立って使うのを避けて、
この式の左辺をたまたま計算してみると =０ になって
ビックリ。これを利用して…　と必ず書けと
予備校で教わるのが定番だった。)

よって、A^2 = (a+d)A - (ad-bc)E = -xA-yE より、
(a+d+x)A = (ad-bc-y)E が成り立つ。

A が E のスカラー倍ではない場合、
a+d+x = ad-bc-y = 0 でなければ
A = { (ad-bc-y) / (a+d+x) }E となって矛盾する。
x = -a-d, y = ad-bc の十分性は明らか。

A = kE の場合、
A^2 + xA + yE = ０ へ代入して、(k^2 + xk + y)E = ０。
任意の x に対して、y = -k^2-kx であれば十分。

> ｘ，ｙを求めよ。