taylor展開を用いて√２を求めよ。

taylor展開を用いて√２を求めよ。
展開の次数有理数表示小数表示
…
…
厳密値

のような表をつくること。（線の引き方が分からないのですが，一応表の並びです。）
どうすればいいか教えてください。

No.2 ベストアンサー 回答者： cyototu 回答日時： 2010/07/08 08:00

√２= (3/2) √２/(3/2) = (3/2) (8/9)^(1/2)

= (3/2)[ 1-(1/9)]^{1/2}

= (3/2)[ 1-(1/2)(1/9)-(1/8)(1/9)^2-(1/16)(1/9)^3- …]


と計算した方が、＃１さんのやり方よりずっと早く正確な値が出ます。

＃１さんの式だと(1/2)^n を計算するのですが、こちらのテーラー展開では、(1/9)^n を計算するので遥かに収束が速いからです。

No.7 回答者： 112233445 回答日時： 2010/07/09 09:49

収束の疑問への回答ありがとうございました。

和を考えるので、各位の数が確定しないと思いましたが、
そうでないことが理解できました。基本的な内容だと思います。
ていねいにありがとうございました。

No.6 回答者： cyototu 回答日時： 2010/07/09 05:21

112233445さんへ

＃２です。

級数の展開が例えば、(1/10)^n の形だったとすると、

n=0 の項は、１、

n=1 の項は、0.1、

n=2 の項は、0.01、

と前より１０分の１ずつ小さくなりませすね。

しかし、級数の展開が例えば、(1/100)^n の形だったとすると、
n=0 の項は、１、

n=1 の項は、0.01、

n=2 の項は、0.0001、

とどんどん小さくなります。だから、(1/10)^n　の場合は n=1 で級数を止めて近似してしまうと、誤差は　n=2　の場合の大きさ、すなわち百分の１の程度誤差が出る。一方、(1/100)^n　の場合は n=1 で級数を止めて近似してしまっても、誤差は　n=2　の場合の大きさ、すなわち１万分の１の程度誤差になるので、近似がずっと良くなるのです。

皆さんいろいろ工夫して、なるべく　(1/x)^n　の　x　の値を大きくして、小さい n のところで計算を止めても良い近似に成るように工夫している訳です。

＃４さんの工夫では　x=332929と大変大きくなっているので、n=1　 すなわち１つの項だけで止めておいても誤差は既に (1/332929)^2 すなわち、１千億分の１ぐらい小さくなっています。

一方、＃５さんの場合には、x=50 ですから、(1/50)^n = (2/100)^n　が１千億分の１に成るためには、n=6、すなわち全部で　n-1 = 5 つの項を計算しなくては行けなくなります。ただし、１００の n乗や２の n乗の計算は易しいので、＃５さんの方法でも簡単に計算が出来ますね。

この回答への補足

皆さんの解説をもとにやってみました。なかなかできず，お返事するのが遅くなりました。
（１／９）＾ｎで次数は７ぐらいまでやってみるといいでしょうか？
表についてですが，
７までやって次に厳密値√２を書いたらいいでしょうか？
有理数表示というのは，分数でそのまま表したらいいんですよね。

補足日時：2010/07/09 19:50

No.5 回答者： htms42 回答日時： 2010/07/08 11:38

＃２の発展形です。

√２＝（１０／７)√(４９／５０)　
　　＝(１０／７)√(９８／１００)
　　＝(１０／７)√(１－２／１００)　

・１０／７=１．４２８・・・は√２の近似値です。７／５＝１．４よりも精度が上がっています。
・収束が速いです。５次まで求めれば小数点下１０桁の値が出てきます。
・（２／１００)＾ｎ　を求めるのが簡単です。手で計算できます。
・展開係数にでてくる２のべきが(２／１００)^n　から出てくる２のべきとで約せてしまうので係数があまり複雑な数字になりません。

展開式を使って実際に近似値を求めるという立場であればこの式がおすすめでしょう。

√２＝(10/7)(１－(1/2)(2/100)－(1/8)(2/100)^2＾－(1/16)(2/100)^3－(5/128)(2/100)^4－・・・）
　　＝(10/7)(１－(1/100)－(1/2)(1/100)^2－(1/2)(1/100)^3－(5/8)(1/100)^4－(7/8)(1/100)^5・・・)

これで　√２＝１．４１４２１３５６２３７　まで決まります。
　　

No.4 回答者： f272 回答日時： 2010/07/08 11:21

√２= (3/2) √２/(3/2)= (3/2) (8/9)^(1/2)= (3/2)[ 1-(1/9)]^{1/2}

のように変形するのを，もう少し進めて考えれば
= (17/12) √２/(17/12)= (17/12) (288/289)^(1/2)= (17/12)[ 1-(1/289)]^{1/2}
= (577/408) √２/(577/408)= (577/408) (332928/332929)^(1/2)= (577/408)[ 1-(1/332929)]^{1/2}
とかにもできる。

No.3 回答者： 112233445 回答日時： 2010/07/08 10:51

質問に対する回答でなくてすみません。

回答のNO2さんの内容について、補足してもらえるとありがたいのですが。
(1/2)^n,(1/9)^nではどうして、(1/9)^nのほうが、正確な値への収束が速い
といえるのか。よろしくお願いします。

No.1 回答者： info22_ 回答日時： 2010/07/07 22:35

f(x)=√(1+x)

=1+(1/2)x-(1/8)x^2+(1/16)x^3-(5/128)x^4+(7/256)x^5-(21/1024)x^6+ …
f(1)=√2
=1+(1/2)-(1/8)+(1/16)-(5/128)+(7/256)-(21/1024)+ …
これをn項目までの和を計算すれば良いです(n=1,2,3,4,5,…)。

厳密値は√2=1.414213562373095048801688724209698078569671875377…