sinΘ、cosΘ(ここではsinΘ)が連続であることを以下のように定

sinΘ、cosΘ(ここではsinΘ)が連続であることを以下のように定義して示しました。
もし、sinΘ(0≦Θ≦2π)がΘについて連続であることをε-δ論法で教授に示してと言われたら以下の方法で
十分大丈夫ですよね？確認のためお願いします。
<証明>
単位円上1点Pを任意にとってOPとx軸の偏角をΘ(ただし弧度法)としてPの座標を(sinΘ,cosΘ)としてsinΘ,cosΘを定める。(0≦Θ≦2π)
単位円と正のx軸との交点をAとおくとさらにΘは弧PAの長さに帰着できる。
すると(グラフないのは申し訳ない)　偏角変数Θ,hを0≦Θ,h≦2πで任意に与えると図から
|sinh-sinΘ|≦|h-Θ|であることがいえる(等号はh=Θときのみ)。これをもとにして今ε-δ論法で示す。

　　　　任意のε(>0)に対してあるδ1>0が存在して(δ1=ε/2として)
　　 |h-Θ|<δ1=ε/2⇒|h-Θ|<ε　　　　は成立するので

　　　　　　|h-Θ|<δ1(=ε/2) ⇒|sinh-sinΘ|≦|h-Θ|<ε⇒|sinh-sinΘ|<ε
が成り立つ。よって
　　　　　　sinΘはどんなΘ(0≦Θ≦2π)にたいしてもΘで連続。
cosΘも今と同様な方法で示せば連続である。

No.1 ベストアンサー 回答者： alice_44 回答日時： 2010/07/15 00:09

弧度法を定義するためには、円弧の長さが定義されている必要がある。

果たして、線分ならぬ曲線に対して「長さ」を定義しうるか？
この点が解決されないと、話が始まらない。
標準的には、ある種の積分を以って曲線の長さを定義するが、
それを円弧にあてはめれば、逆三角関数がひとつの不定積分として
表示されたことになる。
…ということは、三角関数は連続関数の逆関数として定義される
ことになるから、連続性は自明。
つまり、弧度法を使った時点で、それ以降の証明は冗長。

…てな、ミモフタモナイ話は置いといて、質問の証明を眺めると、
一番肝心な箇所が「図から|sinh-sinΘ|≦|h-Θ|であることがいえる」
と、図無しで済まされている。この部分の根拠を書かなくては！
それ以降の式変形は、「ハサミウチの定理より」とだけ書いておけば
省略してもかまわない。

この回答へのお礼

なるほど。参考になってかつアドバイスご丁寧ありがとうございました。
「図から|sinh-sinΘ|≦|h-Θ|であることがいえる」
図で解決しようとするのは本当の証明になっておりませんね。

お礼日時：2010/07/15 06:15